Racines complexes d'un polynôme
Réponses
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$-4i=4e^{-i\frac\pi 2}$.
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Oui, on prend l'expression de Gai_Requin, et on factorise.
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En adaptant la forme algébrique :$2i=(1+i)^2$
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Sinon il y a une formule du cours qui donne directement les racines d'une équation du second degré à coefficients dans $\C$.
On calcule le discriminant etc... -
Cette formule est complètement inopérante pour un polynôme de la forme $z^2-\Delta$ (où $\Delta$ est donné, comme ici) – pourquoi au fait ?
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Bonsoir j'ai la réponse c'est : racine(2) + racine(2i) et racine(2) -racine(2i) .Le problème c'est que je n'arrive pas a voir pourquoi.
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Tu peux écrire (par exemple) $z^2+4i=0 \Longleftrightarrow z^2=-4i$
Et vu que $-4i=2\times (-2i)$ et que $-2i=(1-i)^2$ tu obtiens:
$z^2+4i=0 \Longleftrightarrow z^2=2(1-i)^2$.
A toi de finir. -
Bonjour
Dans le plan complexe, une addition est une translation, une multiplication par un réel est une homothétie, et une multiplication par un complexe est une rotation. Quand tu mets au carré, tu appliques 2 fois la même transformation. Pour l'homothétie répétée, il suffit de prendre la racine carrée pour retrouver le coefficient initial. Il reste la partie complexe. Quelle est la rotation, autour du centre d'affixe 0, du point d'affixe 1, qui, répétée, tombe sur -i ?
Réponse : il y en a 2 (au moins, on néglige "2*k*pi près"). Celle dans le sens directe, et celle dans le sens indirect.
Et on retrouve le résultat, a priori compliqué, mais finalement totalement logique.
$x=\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{\sqrt 2}{2}i$ ou $x=-\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{\sqrt 2}{2}i$Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé. -
Je ne vois toujours pas comment m'en sortir :-(
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Tu n'as pas d'idée de nombres complexes $z$ tels que $z^2 = 2(1-i)^2$ ? Si on oublie le $2$ tu saurais faire ?
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Je dois juste prendre la racine carré et moins la racine après, je n'aurai juste qu'à développer racine de 2 avec (1-i) c'est bien cela ?
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C'est ça, mais attention quand tu "prendre la racine carrée", ce n'est pas quelque chose que l'on peut faire sans plus de précaution dans $\mathbb C$. Mais effectivement, tu vois bien que $\sqrt 2(1-i)$ et $- \sqrt 2(1-i)$ sont des complexes qui, mis au carré, donnent $2(1-i)^2$ !
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Si $z=r e^{i\theta}$, alors $z^2=(r e^{i\theta})^2=r^2e^{2i\theta}$. D'où le dessin ci-dessus.Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
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D'accord un grand merci a vous tous.:-)
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Par contre je n'ai pas compris quand vous dites ''Quelle est la rotation, autour du centre d'affixe 0, du point d'affixe 1, qui, répétée, tombe sur -i ?''.
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En convenant que $\mathrm{sign}(x)=\begin{cases}1\text{ si }x\geq 0\\-1\text{ si }x<0\end{cases}$, on a, pour tous réels $a,b$,$$\left(\frac{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}+b}+\mathrm{sign}(a)\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-b}}2+i\frac{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}+b}-\mathrm{sign}(a)\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-b}}2\right)^2=a+ib.$$
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bonjour Geffrard
le mieux est de garder la forme polaire (ou exponentielle) jusqu'au bout :
$x^2 = - 4i = -4 e^{i\frac{\pi}{2}} = 4 e^{\frac{3ipi}{2} + 2ki\pi}$
et donc $x = 2e^{\frac{3i\pi}{4} + ki\pi}$ soit deux racines complexes :
pour k = 0 il vient : $x = 2e^{\frac{3i\pi}{4}}= - \sqrt{2}(1 - i)$
et pour k = - 1 il vient $x = 2e^{\frac{-i\pi}{4}} = \sqrt{2}(1 - i)$
tu passes d'une solution à l'autre par une rotation de centre 0 et d'angle $\pi$ ou $-\pi$ du point image
cordialement -
Bonjour Geffrard,
Quel est ton niveau d'études ? -
A tout hasard, j'ai simplifié [cette formule] en gardant les mêmes notations.$$\left(\frac{\sqrt{2\sqrt{a^2+b^2}+2a}}2+i\text{ sign}(b)\frac{\sqrt{2\sqrt{a^2+b^2}-2a}}2\right)^2=a+ib.$$
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Merci beaucoup et je suis en l1.:-)
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Bonjour!
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