Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
Réponses
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Soit $x\in E\setminus\lbrace 0\rbrace \ldots$
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Oui mais pour dire que $\chi_u(u)=0$ il faut le montrer pour tout $x \in E$ non ?
En $0$ on fait comment ? -
Bonjour
$X_u(u)(0+0)=X_u(u)(0)+X_u(u)(0)$ donc $X_u(u)(0)=0$ -
Bd2017 d'accord merci on utilise la linéarité via le morphisme de $\K$ algèbre $\begin{array}[t]{cccl}
\varphi :& \K[X]& \longrightarrow &\mathcal L(E) \\
& P &\longmapsto& P(u)
\end{array}$
$\chi_u(u)$ est un polynôme d'endomorphisme, il est donc linéaire. -
C'est hallucinant, Oshine : tu essaies de manipuler des choses difficiles et tu continues à buter sur des points de définition évidents.
Ici, tu viens demander sur le forum pourquoi une application linéaire est nulle en 0 alors que tu prétends étudier la démonstration du théorème de Cayley-Hamilton : te rends-tu compte du ridicule de la situation ? -
Bisam je savais qu'une application linéaire était nulle en 0.
J'ai bloqué car ça fait 10 ans que je n'ai pas manipulé des polynômes d'endomorphismes. Mon souci ici était la non maîtrise des polynômes d'endomorphisme. -
Ce n'est pas une question de polynôme d'endomorphisme, c'est un endomorphisme, c'est la seule chose à savoir. Là tu te cherches des excuses.
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Oui j'aurais dû le voir tout seul. A ce stade, je ne devrais pas bloquer sur de genre de détail.
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Ne t'inquiète pas, c'est SUPER COMIQUE et je te remercie d'avoir provoqué ce post de bisam qui m'a bien aidé à me détendre, mais ça arrive à tout le monde.
Tes difficultés sont plus globales et résident dans ton comportement d'esclave volontaire qui te joue des tours. A un moment il faut S'APPROPRIER les choses, les livres d'études supérieures ne peuvent pas faire 40000 pages, l'argot, les clins d'oeil et les "tu vois ce que je VEUX dire" y sont de plus en plus fréquentsAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Christophe c ils sont déjà assez longs comme ça, 1 200 pages pour moi c'est énorme.
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:-D Bon, je te donne une preuve courte du théorème de Cayley Hamilton (si tu parviens à la déplier en une semaine, tu auras gagné 400 pages d'un coup).
Je numérote l'activité (Exercice 87 pour Oshine) :
1/ Prenons la matrice composée $M$ uniquement de lettres, une lettre par case, et que des lettres différentes. Considérons ces lettres comme les indéterminées de l'anneau de polynômes $A:=\Q[Lettres\dots]$
2/ Soit $K$ un corps algébriquement clos qui contient $A$ comme sous-anneau
3/ $M$ est diagonalisable dans ce corps (pourquoi? sous-exercice)
4/ Le fait de vérifier le théorème de CH est stable par passage d'une matrice à une semblable, indépendant du corps contenant ses coefficients, et vrai pour les matrices diagonales.
5/ $M$ vérifie donc le théorème de Cayley Hamilton.
Je mets un lien dans le fil dédié vers le présent post.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Tu as la droite de t'aider du net, mais ne fais pas de "recopie nez sur le tableau". Prends "de la hauteur" ( :-D l'expression de politicien) et digère les mécanismes.
Et inutile de poster "j'ai rien compris" on se doute que tu ressens ça en première lecture, tu nous as appris à te comprendre.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Des lectures pour Oshine
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1851400,1851434#msg-1851434
http://www.normalesup.org/~sage/Enseignement/Cours/CaylHami.pdf 3eme méthodeLe 😄 Farceur -
@gebrane: à ta place je changerais ma signature en ...Chaurien et Raoul.... (Le lecteur s'arrête sur l'absence de majuscule à "raoul")Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Et j'écrirais "sur le forum" au lieu de "au forum".
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Gebrane j'ai lu rapidement je ne comprends pas grand chose à ce qu'écrit l'auteur du document, il va beaucoup trop vite et je trouve les explications pas claires du tout.
De toute façon je ne compte pas spécialement étudier les démos de Cayley-Hamilton, j'en ai vu une dans mon livre ça me suffit.
Je vais m'exercer sur des exercices sur la réduction. -
Il y a aussi ce beau texte, façon « Que choisir ? », par un collègue connu :
https://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/HaCa.pdf -
Chaurien ces documents sont d'un niveau beaucoup trop élevé pour mon modeste niveau.
Suite exacte de $A[X]$ modules ::o
Si je maitrise le contenu de mon livre scolaire de prépa MP ça serait déjà fantastique. -
Moi non plus je ne les maîtrise pas toutes, mais justement comme il y en a beaucoup, on peut choisir...
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Oui mais OShine abandonne dès qu'il voit un symbole qu'il ne connaît pas, sans chercher à comprendre ce qu'il peut comprendre.
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J'ai dans mon cours la même démo du théorème de Cayley-Hamilton que celle de ton livre, mais j'ai un peu plus détaillé la preuve.
Tu peux regarder dans le pdf ci-joint, page 9. -
Merci Bisam.
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wow c'est bien expliqué. peux-tu m'envoyer ton cours d’algèbre complet bisam stp en mp si tu veuxLe 😄 Farceur
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Oui Bisam explique bien contrairement à plein de cours pas clairs qu'on trouve sur le net.
En plus, ses cours sont plus concis et contiennent que les choses importantes.
Dans mon livre il y a trop de propriétés je me noie. -
Je n'ai pas les contraintes d'un éditeur derrière moi pour me dire combien de pages doit faire le chapitre, quelle est la part de "hors programme" à laquelle j'ai droit, combien d'exemples je suis obligé de mettre, combien d'exercices d'applications, etc...
Bref, c'est beaucoup plus facile pour un prof qui écrit son cours pour ses élèves et lui de prendre le temps d'expliquer et de détailler certains points qui paraissent cruciaux et de négliger certains autres que pour quelqu'un qui écrit un cours qui sera publié dans un livre.
L'intégralité de mon cours (de sup PCSI et de spé PSI) se trouve sur le site : http://pcsi.lazos.free.fr/
Pour l'occasion, je l'ai mis à jour avec la réécriture du cours faite cette année, ainsi que les changements d'exos, les futurs nouveaux programmes et quelques corrigés d'exos que j'ai tapés. -
Merci infiniment bisam pour ce grand partageLe 😄 Farceur
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Bonjour bisam,
Merci infiniment! -
OS a écrit:Oui Bisam explique bien contrairement à plein de cours pas ...
Dans mon livre il y a trop de propriétés je me noie.
Encore une fois, tu viens de te tirer une balle dans le pied en postant un avis qui en même temps te sert à te mentir à toi-même en extériorisant.
Dans toute activité où on progresse, il y a une part de pression extérieure. En extériorisant, tu évacues cette pression et t'auto-anéantis (enfin auto-anéantis cette pression que aide à taper dans la balle de tennis). A répéter sans cesse que le ping ong c'est mieux, tu boycottes les matchs de tennis.
Rien à voir: je pense que vu le nombre de preuves de CH, on devrait pouvoir un jour "les fédérer" en une macro-preuve du genre:
$A-XJ$ (je note $J$ pour l'identité) mesure l'éloignement entre $A$ et l'homothétie de rapport $X$. Or on sait que le déterminant mesure le volume, c'est à dire "in some sense" le $X$ dynamique tel que $[u\mapsto A(u)]==[X\mapsto Xu]$ à la non commutativité près. Ne pouvant rien préjuger, sur $X$ il est donc inévitable que $det(A-XJ)$ soit nul.
Si j'ai un peu de temps j'essaierai de donner forme à ça, mais si vous avez connaissance de documents qui se rapprochent de cette zip-idée...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Oshine, cc cherche la preuve juste la plus courte. gebrane te donne la preuve fausse la plus courte.
Soit $P$ le polynôme caractéristique de $A$ (c'est-à-dire $P_A(X)=\det (X.I-A))$, alors $P_A(A)=\det (A.I-A)=\det (A-A))=0$.
Où délire gebrane Oshine ?Le 😄 Farceur -
Gebrane je ne vois pas l'erreur.;
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Ce Spin-off de gebrane est excellent. Il y a longtemps j'avais cru démontrer Cayley-Hamilton comme ça. Je me disais mais pourquoi tout le monde en fait tout un plat ? c'est tellement évident... bon j'ai vite remis les pieds sur terre. :-D
Vas-y OShine cherche encore. -
OS a écrit:Gebrane je ne vois pas l'erreur.;
Normal. Dans une preuve il n'y a pas d'erreur, il y a des choses admises. Et la tradition ira vers dire que l'erreur est une des choses admises (au sens où elle est fausse ou à tout le moins trop audacieuse).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Oshine, je vais provoquer spécialement cc pour toi pour l'obliger ( je l’espère en tout cas ) à mieux t'expliquer pourquoi ma preuve en est une fausse preuvecc dit : a écrit:"Normal. Dans une preuve il n'y a pas d'erreur, il y a des choses admises"
Il parait aussi que cc ne voit pas le délire dans la preuve de gebrane !
Qu'en penses-tu raoul, n'est ce pas une belle provocation ? :-DLe 😄 Farceur -
gebrane a écrit:pour l'obliger ( je l’espère en tout cas ) à mieux t'expliquer pourquoi ma preuve en est une fausse preuve
Je vais te décevoir, c'est une VRAIE PREUVE.
Tu admets: a=b; b=c; c=d
Tu déduis a=d.
Je ne vois pas en quoi il serait utile que je fasse à la place de OS le taf de dire la ou les hypothèses douteuses parmi:
a=b
b=c
c=dAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Ah, cc dit que c'est une vraie preuve, il ne voit pas le délire de gebrane.
alors j'explique à la fois pour cc et Oshine. Soit $P$ le polynôme caractéristique de $A$ , c'est-à-dire $P_A(X)=\det (X.I-A))$, gebrane remplace sans scrupule le X par la matrice A, comme si rien ne dérange si gebrane remplace X par une matrice B
$$P_A(B)=\det (B.I-A))$$
C'est grotesque car $P_A(B)$ devient une matrice, mais $\det (B.I-A)$ est toujours un nombre. On obtient une égalité entre une matrice et un nombre.
Moralité, on peut associer au polynôme caractéristique, la fonction polynôme $\lambda\to P_A(\lambda)=\det (\lambda.I-A))$, mais jamais, on ne peut remplacer le X par une matrice.
Mais qu'est ce qu'il dit exactement C.H par Une matrice annule son polynôme caractéristique ? . Pour Oshine : il dit si je remplace le X dans le polynôme caractéristique de A par la matrice A, on obtient la matrice nulle
Dans son délire, gebrane montre que si remplace le X dans le polynôme caractéristique de A par la matrice A, on obtiens le nombre 0, c'est grotesqueLe 😄 Farceur -
Pour revenir sur le faux délire de gebrane et éclairer (ou obscursir) par de la définition propre pour OS :
deux petits préliminaires :
Si $U$ est un anneau, et si $P\in U\left[X\right]$, alors pour tout élément $\gamma$ de toute $U$-algèbre, on peut considérer son élément $P\left(\gamma\right)$ défini par ...
Si $U$ est un anneau, et si $N\in\mathscr{M}_{n}\left(U\right)$, alors $det\left(N\right)\in U$ est défini par des opérations sur les coefficients de $N$, you know how...
Maintenant :
Etant donné $M\in\mathscr{M}_{n}\left(K\right)$, on considère $Q_{A}\in\left(\mathscr{M}_{n}\left(K\right)\right)\left[X\right]$ défini par $Q_{A}\left(X\right)=XI-M$.
Or $\left(\mathscr{M}_{n}\left(K\right)\right)\left[X\right]$ s'identifie (à voir...) à $\mathscr{M}_{n}\left(K\left[X\right]\right)$, et on peut donc considérer $P_{A}=det\left(Q_{A}\right)$, qui est donc élément de l'anneau $K\left[X\right]$.
$\mathscr{M}_{n}\left(K\right)$ étant une $K$-algèbre, on peut considérer pour tout $B\in\mathscr{M}_{n}\left(K\right)$ l'élément $P_{A}\left(B\right)$, qui est formellement $\left(det\left(Q_{A}\right)\right)\left(B\right)$.
Et qui n'a bien sûr aucun rapport avec $det\left(Q_{A}\left(B\right)\right)$.
. -
Gebrane,
tu sais bien que Christophe est dyscalculique. Il ne voit pas les triches de calcul. Son explication en témoigne, il n'a pas vu qu'un b s'était transformé en douce en autre chose que b.
Cordialement. -
Merci gerard0 de m'avoir rappelé que cc est fortement dyscalculique.
Je comprends maintenant pourquoi il n'a pas vu la tricherieLe 😄 Farceur -
Salut bisam (tu)
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J'ai compris merci.
Zig un peu théorique mais j'ai compris l'idée.
Soit $f$ un endomorphisme de $E$.
$\chi_f (f)$ est un polynôme d'endomorphisme et on doit montrer $\forall x \in E, \ \chi_f(f) (x)=0$. -
Oshine, à quoi sert ton $\forall x\in E$ s'il n'y a pas de $x$ dans ce que tu écris après ?
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J'ai rectifié l'oubli.
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De mon téléphone : je ne sais pas qui manipule qui entre OS et gebrane, mais une fois de plus OS a eu droit à une "correction".
Alors est-ce que OS est ultra rusé ou est-ce que gebrane avait envie de parler pendant ce confinement ? :-D
Et je maintiens ce que j'ai dit.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Ah cc maintient ce qu'il dit. J'ai besoin de Foys d'urgence!, c'est le seul qui peut faire changer l'avis de cc
Oui, tu as vu juste, j'avais de besoin de parler sinon je vais disjoncterLe 😄 Farceur -
J'espère que foys ne va pas vendre la enfin les mèches. :-D
Bon allez je suis gentil. Depuis quand le point entre A et I signifie la composition ?
Pour moi A.I c'est la matrice diagonale avec chaque élément valant A. En tout cas c'est toi même qui l'a dit ...
Bon cela dit il y a aussi d'autres mèches :-D mais c'était la seule mèche linguistico-nonlogique disons.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
A noter que toutes les égalités que TU SUPPOSES sont vraies mais ADMISES QUAND MEME. Elles sont vraies ... par C.H. justement.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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@gebrane je te propose un deal. Je te raconte ce qu'il se passe et tu traduis tout FORMELLEMENT à OS, qui refuse les synthèses. Je suis sur mon téléphone
1/ le déterminant mesure le volume (quel volume préciser etc lien avec formes alternées)
2/ C'est pour ça que déterminant nul caractérisé non injection. (Développe)
3/ La dimension = truc ESSENTIEL et robuste (voir suite, tu mets en musique)
4/ l'espace des matrices est de dimension fini (à n fixé)
5/ il y a donc un polynôme qui annule A
6/ il y en a donc un tel de degré minimum (IN est un bon ordre scoop)
7/ Une racine d'un polynôme min annulant A est une valeur propre de A (évident? Rédige) donc annule son polycar
8/ HA HA HA mais depuis Galois on sait que c'est pas facile d'avoir de telles racines hein?
9/ Ouais mais sauf que ici il y en a une évidente: A elle même.
10/ Donc Cayley Hamilton est vrai (car A est une valeur propre de .. A :-D
A toi de faire ce qu'on appelle un "retypage" avec but que OS "synthétise".Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@gerzrd je viens de voir ta remarque. Tu as raison je suis dyscalculique, mais ma mémoire bien qu'à éclipse n'a jamais oublié ce serpent de mer d'autant que c'est une erreur que je n'ai JAMAIS FAITE mais toujours considérée comme "voulant dire" quelque chose.
Et j'ai suivi mon adage "en maths quand on jette des hypothèses on perd quelque chose".
C'est pour ça que l'autre jour j'ai cherché le vecteur propre associé à la valeur propre A de A.
En effet l'artifice du déterminant (toujours ce petit côté artificiel des matheux qui s'associent trop à la technologie) cache que la VRAIE BONNE ERREUR c'est de dire que A valeur propre de A est un lapalissade tellement puissante qu'elle serait associée à TOUS vecteur propre (comme le dit l'erreur)
Ca n'en est pas une certes mais à tout le moins on pouvait se demander si de tout on passe à rien. Et bien non.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Christophe,
inutile d'essayer de me convaincre avec ce genre de baratin, je te l'ai déjà dit : "je ne te crois pas" (=Je ne crois pas que ce qu'écrit CC a systématiquement du sens"), et j'ai seulement constaté que tu voyais ici une preuve du type que tu as dit alors que ce n'était pas ça. Tu es tellement persuadé de ne jamais te tromper (tu en avais fait un fil, il y a quelques années) que tu ne regardes pas vraiment ce que les autres écrivent. Tu parles seulement de ce qui t'intéresse, en reprenant des mots du message auquel "tu réponds".
C'est dommage, avec un peu d'humilité tu pourrais être efficace.
Cordialement.
Inutile de polémiquer sur ce que je viens de dire, tu confirmerais ce message. Et moi j'arrête-là, mon message initial s'adressait à Gebrane, pas à toi. -
Gérard, je ne comprends ni ton "agressivité" (intellectuelle), ni de quelle erreur (puisque c'est tout de même ça TON sujet) tu parles.
Tu as l'air de dire que je ne reconnais pas mon erreur, ou que je ne reconnais pas mes erreurs. (Le reste = effet de manche)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour!
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