Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton

Ton erreur a été précisée, tu ne le comprends pas, tant pis ... C'est toujours comme ça. Si d'autres l'acceptent, tant mieux pour eux. Moi pas, et c'est pour ça que je n'interviens pas dans tes discussions interminables où tu baratines sans jamais répondre effectivement à ceux qui essaient de te comprendre.
Et ça fait 15 ans que ça dure, donc je renonce ("je suis braqué", comme tu dis .. à qui la faute)

cc Tu veux me faire disjoncter ?
Une dernière tentative pour montrer ton erreur
Travaillons dans $M_n(\R)$ et soit $A\in M_n(\R)$ et soit $P_A$ le polynôme caractéristique de A, on a $\displaystyle \forall x \in \R, P_A(x)= \det ( xI-A)$, l'erreur qui est une erreur de raisonnement est dans cette première égalité où je remplace $x$ ou si tu veux l'indéterminé par A pour obtenir $P_A(A)= \det ( AI-A)$ et notons b le nombre $b=\det ( AI-A)$
Tu me dis que cette première égalité est vraie en utilisant le résultat que je veux démontrer. Mais comprends-tu, ou tu veux me rendre fou ? qu' au niveau de cette première égalité , je n'ai pas encore calculer le b, je ne sais rien sur b, je ne sais pas si b est nul , comment utiliser CH pour justifier cette première égalité sachant que je n'ai pas démontré que b est effectivement nul. Je le démontre dans les deux égalités qui suivent

Bon écoute, tant pis pour OS, je vais te mâcher le travail.

1/ Dommage que les cris de Gérard t'aient peut-être induit en erreur

2/ gebrane: pour montrer ton erreur. Bon, je vais te donner un extrait de ma life, puisque ça a l'air de te paraitre possible. Je viens sur le forum depuis 15ans, je suis logicien, et je n'ai jamais accordé à l'algèbre linéaire (avant de venir) une importance énorme. En particulier, il ne m'est JAMAIS arrivé d'avoir "besoin" de faire cette "ERREUR" (qui je le rappelle est GROSSIERE, est connue de tous comme un serpent de mer). Par contre, j'ai eu BIEN DES FOIS à échanger sur elle (alors même que tel ou tel étudiant venait de la faire sur le forum ou que tel ou tel "philosophe" voulait lui trouver un sens caché).

3/ Donc, je veux bien avoir atteint un stade très avancé d'Alzheimer, mais tout de même, si je pouvais me vexer sur ces choses, je le serais sacrément :-D :-D :-D . Te rends-tu compte que c'est comme si toi (et Gérard, bien que lui, il n'a pas pensé que je la faisais, mais visait tel ou tel but idéologique sans le dire franchement (ie me forcer à présenter autrement ce que je disais parce que cette manière de procéder en faisant mariner les gens lui déplait)) me disaient avec insistance que je me trompe si j'affirme que 45+7 = 42? Comme si tu me disais que j'ai oublié la retenue et que je refusais de l'admettre?

4/ qui est une erreur de raisonnement Non! Ce n'est pas une erreur de raisonnement, les admis sont formels et la conclusion est formelle, il ne peut donc pas y avoir d'erreur de raisonnement. Un problème de raisonnement c'est quand tu ne sais pas ce qui est supposé ou affirmé. Or ici, tout est clair.

5/ Je raccourcis à peine, mais un peu, puisque je vais me concentrer sur ce que tu as répondu (J:= matrice identité):

5.1/ Tu affirmes que A=>Truc. Et je te dis que c'est vrai et non erroné.

5.2/ Tu me réponds
"non, A est possiblement faux".
Donc tu me réponds "non, il est possible que non(A)".
Donc tu me réponds "Non, il est possible que A=>Tout".

Ce à quoi je réponds: je maintiens. Et de fait, si A=>Tout, alors A=>Truc.

5.3/ Ce qui précède est l'aspect logique, je n'ai rien modifié et tu pourras encore le lire dans ce que je t'ai dit, juste avant que Gérard ne t'installe dans l'ambiguité.

5.4/ Je passe maintenant à l'aspect non "spécifiquement" logique, à savoir $[\forall X, \ P(X) = \det(XJ-A)] \to P(A)=\det(AJ-A)$

5.5/ il y a plusieurs choses à dire.

5.5.1/ La remarque serpent de mer qui consiste, comme tu le dis, à mettre $A$ à la place de $X$ à cause du symbole $\forall$, sous-entendu, mais indu. Ça, c'est un aspect que tu as bien compris puisque tu es prêt même à l'exposer doctement comme erreur à ne pas faire.

5.5.2/ Mais il y a autre chose, qui est beaucoup plus important dans l'erreur : c'est quand OS écrit :
$$
\det(A.J-A) = \det(A-A).

$$ Hélas, ce point, pourtant bien plus important et significatif, qui lui aussi constitue ce que tu appellerais "une erreur" (bien que ce soit, vrai, mais non valable, car non évident) est souvent passé sous silence (et en fait même TOUJOURS passé sous silence). On privilégie toujours 5.5.1 qui est très superficiel.

Or si OShine écrit ça, c'est parce que qu'il considère que le point VEUT DIRE $\circ$ selon lui. Or cette affirmation est beaucoup moins excusable que la précédent.

5.5.3/ Une tradition veut qu'on "type" souvent les objets en maths donc que le $\forall$ n'est pas légitime. Alors qu'en fait, de ça, on s'en fiche un peu ce n'est pas très important pour "la science". Par contre, l'expression $X.J$ signifie : LE SCALAIRE (peu importe ce que veut dire scalaire) multiplié EXTERNEMENT par la matrice $J$)

Autrement dit, $A.J$ veut juste dire la matrice (dont les coefficients SONT DES MATRICES du coup) $diag(A,A,A,...,A)$

Il n'y a VRAIMENT AUCUNE RAISON de prétendre que $A\circ J$. Et d'ailleurs, la preuve en est qu'on note bien $\det(X.J-A)$ et non pas $\det(X-A)$. À quoi servirait le $J$ sinon ?

6/ Et c'est dommage que tu n'aies pas lu attentivement et que tu aies plus eu envie de "corriger une erreur" ce dont je te remercie pour le temps que ça peut t'avoir coûté), puisqu'EN PLUS, si tu avais bien lu tu aurais découvert un truc que tu ne savais peut-être pas est que le théorème de Cayley Hamilton est "trivial", justement à la suite de ces remarques.

7/ Je ne t'apprendrai pas, je l'espère qu'il existe un polynôme $P$ qui annule $A$. Parmi eux un polynôme $P$ qui a le plus petit degré possible. On a donc
$$
(X-A) \times Q(X) = P(X),

$$ avec AU MOINS un vecteur $u$ tel que $Q(A)(u)\neq 0$, ce qui fait du SCALAIRE $A$ (dans l'anneau engendré par elle dans $S:=M_n(K))$) une valeur propre de $A$ dans ce même anneau.

Cela veut dire que $A-scalaire(A).Identite_{M_n(S)}$ n'est pas injective

En toute rigueur, ça te dit que $Polycar_A(A)$ est nilpotent, il faut dépoussiérer ça pour mettre "nul" à la place, mais c'est tout.

Comme quoi, tu vois, il vaut mieux toujours lire l'AUTRE avant de le "reprendre". Ca s'applique aussi à Gérard, mais il est majeur et vacciné et très "constant" dans son idéologie, donc je ne me fatiguerai pas :-D

De mon téléphone. Merci MC. Bon j'ai vu des diagrammes et des histoires de comatrices.

C'est peut être plus typé correctement, mais la facilité pour un étudiant ne me paraît pas évidente.

Bon après je suis sur mon téléphone et la visualisation des pdf...

Je redis en une ligne ce que j'ai dit, mais sans fioritures : en regardant A comme a coefficients dans le sur anneaublabla, le "scalaire A" en est une valeur propre. RIEN DE PLUS mais c'est CH (à la nilpotence près).

Pas de calculs
Pas de connaissances
Pas de longueur
Pas d'inspiration

En termes L1 les racines du polynôme minimal de A sont TOUTES des racines du polynôme caractéristique de A, car ce sont des valeurs propres.

JE NE DIS RIEN DE PLUS!! Et c'est "trivial".

Bon mais après oui c'est "volontairement" transtype pour le dire de manière snobe.

Le problème de l'expression $A\cdot J-A$, c'est de mélanger $A\cdot J$, qui est une matrice $n\times n$ à coefficients dans $\mathcal{M}_n(\C)$, et $A$ qui est une matrice $n\times n$ à coefficients dans $\C$. Il faut imaginer que les coefficients du deuxième $A$ sont en fait $a_{ij}\mathrm{I}_n$. Autrement dit, on travaille dans $\mathcal{M}_n(\C[A])$ (ou bien $\mathcal{M}_n(\mathcal{M}_n(\C))$ qui a le grave inconvénient, le déterminant n'y est pas défini convenablement ou du moins, n'y a pas les bonnes propriétés car l'anneau $\mathcal{M}_n(\C)$ n'est pas commutatif). Il est sans doute plus facile de travailler dans l'anneau $\mathcal{M}_n(\C[X])$ des matrices à coefficients polynômes.

@Math Coss, oui bien entendu, mais l'anneau engendré par $A$ dans $M_n(K)$ est commutatif, même si tout l'anneau ne l'est pas.

De toute façon, attention, je donnais surtout une invitation à méditer pluss qu'une preuve technlogique. Cayley Hamilton dispose de nombreuses preuves, il me parait simplement intéressant les gens à voir que sans aucune connaissance d'algèbre linéaire autre que la dimension, ils peuvent "y croire" sans problème.

Les changements d'anneaux, les problèmes de non intégrité des anneaux touchés, etc, ne disparaissent pas.

Etant sur un pc, je redis ce qu'il se passe, et signale l'endroit méditatif.

1/ Soit $Q$ un polynôme MINIMAL au niveau du degré qui annule $A$. Il en existe (pourquoi?)

2/ Comme on ne sait pas dans quel corps on est, rien n'indique même qu'il ait au moins une racine.

3/ Mais comme la question traitée ne dépend pas du corps, on peut le supposer scindé (pourquoi?)

4/ Ses racines sont des valeurs propres de $A$ (pourquoi?)

5/ Elles sont donc toutes racines du polycar $P$ de $A$.

6/ Il suit que $Q$ divise une PUISSANCE de $P$

7/ il existe un entier $n$ tel que $(P^n)(A)=0$

a/ Jusque là, je n'ai utilisé que des bases du L1-L2.

b/ Aspect méditatif: à l'étape (3), j'ai psychologiquement évoqué un truc confortable qui est qu'on peut rajouter des racines à un polynôme non contant dans provoquer de crash sur $0=1$. (Cet aspext-là n'est peut-être plus tellement sensibilisé en L1-L2, je ne sais pas)

c/ Mais ce n'est que psychologique. En effet, Monsieur de Lapalisse lui-même confirmera que $A$ est bien une racine des polynômes qui annulent $A$.

d/ C'est là que le méditatif vient: "pas besoin de (3)". La matrice $A$ elle-même vue comme scalaire, c'est à dire élément deu plus petit sous-anneau $B$ (commutatif) de $M_n(K)$ contenant $A$ est une valeur propre de $A$ vue comme matrice vivant dans $M_n(B)$.

Evidemment que les manuels académiques ne vont pas raconter les choses de cette façon***. Mais il ne me semble pas utile de se priver d'en faire profiter les gens non grognons. Après, rien n'interdit aux grognons de vivre leur vie :-D

*** et pourtant, ce n'est à coût constant. Entre le tour de magie de (3) "wesh, vas y on sait qu'on peut inventer des existences de racines, laisse tomber trop cool" et la réalité sans dépense "ah bin, une valeur propre, on en a une, et en plus celle qu'on veut, à savoir $A$", il y a quand-même un conflit "écolos" (au sens noble) VS "non écolos" qui est bien réel...

Bonjour,

Ça fait bien longtemps que j'ai renoncé à comprendre ce que raconte CC du point de vue mathématique.
Il faudrait enlever au moins $80\space\%$ du contenu de ses messages, malheureusement, je ne sais pas quels $80\space\%$ enlever.

Cordialement,

Rescassol

O Shine :
Dans $\displaystyle \forall x \in \R, P_A(x)= \det ( xI-A)$ peut on prendre pour $x$ une matrice ?
Christophe parle d'autre chose sans lire, sous prétexte qu'on peut faire un calcul analogue (mais l'analogie n'est pas un outil de preuve), d'ailleurs tu verras, si tu relis, qu'il remplace $x$ par $X$ (ce n'est pas innocent) et que le $\in \R$ a disparu !!
Quand on est de mauvaise foi ...

Cordialement.

Sauf que $\det(XI_n - A)$ n'est pas sous forme polynomiale comme $X-1$ l'est.

"quand on est de mauvaise foi".

Gérard ton manque de respect a des limites d'autant que la mauvaise foi SEMBLE de ton côté. Mais je n'en suis pas sur vu que tu n'as rien lu.

Pour ce qui me concerne j'ai détaillé et reformulé suite à une demande de gebrane.

Je te prierais d'être plus correct et factuel à l'avenir, tu n'es pas mon tuteur. Merci d'avance.

OShine : la charge de la preuve en maths est de ton côté. "Pourquoi on ne peut pas faire ci où ça" mérite comme réponse mathématique "pourquoi on pourrait" avec charge, à toi, de le justifier.

OShine, avant d'essayer de comprendre une démonstration dans le cas général, tu pourrais commencer par regarder ce qui se passe pour les matrices 2x2.

Le polynôme caractéristique de $A=\begin{pmatrix}a&b\\ c& d\end{pmatrix}$ est $P_A(X)=\begin{vmatrix}X-a&-b\\ -c& X-d\end{vmatrix}$.

Déjà, tu vois qu'on ne peut pas "remplacer" ici $X$ par $A$ car $\begin{vmatrix}A-a&-b\\ -c& A-d\end{vmatrix}$ ne veut rien dire. Donc, tu comprends que $P_A(A)=\det(A\cdot I_2-A)=0$ ne peut pas être correct.

Ensuite, si tu développes, tu obtiens $P_A(X)=X^2-(a+d)X+ad-bc$. Tu dois alors simplement vérifier que $A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$. Je te laisse faire le calcul.

Bien sûr, ça ne donne pas d'idée pour traiter le cas général, mais au moins ça permet de bien comprendre les objets en jeu.

Christophe, je te trouve très sympathique, mais là, il me semble que tu exagères un peu : tout le monde te dit que ce que tu racontes, sans être absoluement faux en soi, est à la fois d'une technicité et d'un caractère conceptuel que tu refuses absolument d'assumer. Du coup, tes propos ressemblent beaucoup à du baratin pour la plupart des gens : les étudiants, et les gens qui ont déjà corrigé des copies !

Je précise, à toutes fins utiles, que cc affirmait ici il y a 12 ans ceci :
« La faiblesse de ton raisonnement est donc d'affirmer que P(A)=det(A-A) ».

Bravo Ibni, c'est hilarant ! (tu):-D(:P)(:DX:-(B-)-

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,475624,476375#msg-476375

En fait, ce qu'il s'est passé c'est qu'en 12 ans, Christophe a trouvé son superthéorème de Cayley-Hamilton (qui est en effet vrai, et bien connu, mais un peu conceptuel), et que, depuis, il dit à tout le monde que c'est évident (alors que ce n'est pas si clair !)

raoul a écrit:

un juste retour de bâton je trouve

Ca dépend. Poster "ces fioritures" me coutent du temps. Donc je ne sais pas.

Je suis un peu d'accord avec ce que tu dis, Christophe.

La démonstration fallacieuse de Cayley-Hamilton prend 12 caractères, et donne le bon résultat.

Mais elle est fausse.

Mais elle dit vrai et mieux.

Donc en effet, il y a tout lieu de penser que toutes les autres démonstrations technicoïdes sont un peu à côté de la plaque.

Après, une fois qu'on a dit ça, mieux vaut avoir un argument convaincant pour transformer le plomb en or, sinon, on prêche aux convaincus, et on risque, auprès des autres, de passer pour une espèce de zigoto.

Bonjour à tous, désolé en quittant, j'ai oublié mon sac à dos ici. J'en profite pour répondre Oshine dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2228212,2233266#msg-2233266
Pour bien comprendre pourquoi on ne peut pas remplacer $x$ par $A$, voici un antidote, remplace le déterminant par la trace, considère donc $Q_A(x)=Tr (xI-A),\ \forall x\in \R$.
by à tous

J'ai "emmarbré" la question posée ci-dessus dans un post récapitulatif: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2233806,2233806#msg-2233806