Anneau d'entiers principal
dans Algèbre
Je lis dans Wikipedia que $\mathbb{Z}[\sqrt{7}]$, anneau des entiers de $\mathbb{Q}[\sqrt{7}]$, de discriminant $\Delta=28$, (car $7 \equiv 3 \mod 4)$, est un anneau principal :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_quadratique#Conjugué_et_norme
Par ailleurs on a la propriété : si $p \mid \Delta$, alors il existe un idéal premier $\mathfrak p$ de norme $p$. Donc il existe un idéal $(\alpha)$ (car l'anneau est principal) de norme $7$. Or si $\alpha=x+y \sqrt{7}$, $x,y$ entiers, alors $N(\mathfrak p)=N((\alpha))=N(\alpha)=x^2-7y^2=7$. Mais cette équation n'a pas de solution dans $\mathbb{Z}^2$.
Où est mon erreur ?
Merci d'avance.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_quadratique#Conjugué_et_norme
Par ailleurs on a la propriété : si $p \mid \Delta$, alors il existe un idéal premier $\mathfrak p$ de norme $p$. Donc il existe un idéal $(\alpha)$ (car l'anneau est principal) de norme $7$. Or si $\alpha=x+y \sqrt{7}$, $x,y$ entiers, alors $N(\mathfrak p)=N((\alpha))=N(\alpha)=x^2-7y^2=7$. Mais cette équation n'a pas de solution dans $\mathbb{Z}^2$.
Où est mon erreur ?
Merci d'avance.
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Réponses
Le problème ici, c'est que la norme d'un générateur de $\mathfrak p$ vaut $\pm p$ et $\mathbb{Z}[\sqrt{7}]$ ne possède pas d'inversibles de norme $-1$.
noix de totos, (je cite mon cours), dans un corps quadratique, si $p$ premier est diviseur premier du discriminant, alors $p$ ramifie dans le corps quadratique, et $(p)= \mathfrak{p}^2$.
Donc $N(\mathfrak{p}^2)=N(\mathfrak{p})^2=N((p))=N(p)=p^2$, donc $N(\mathfrak{p})=\pm p$ ?
Ah je crois que mon erreur vient de là (la norme de l'idéal premier n'est pas forcément $p$, j'ai eu la flemme, et une norme n'est pas forcément positive) : l'équation $x^2-7y^2=-7$ possède la solution $(21,8)$, donc $\mathfrak{p}=(21+8 \sqrt{7})$ !
Ici, $\mathfrak{p}=(21+8 \sqrt{7})=(\sqrt 7)$ est de norme $7$ mais $\sqrt 7$ est de norme $-7$.
$N(\mathfrak{p})^2=p^2 \Rightarrow N(\mathfrak{p})=p$.
$(21+8 \sqrt{7})=(\sqrt{7})$ car $\dfrac{21+8 \sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ est inversible car de norme $1$.
Je m'embrouille à l'écrit entre les $p$ et les $\mathfrak{p}$. Comment faites-vous pour les distinguer ?
Maintenant, qu'est-ce qui prouve que $(\sqrt{7})$ est premier ? On a $(\sqrt{7})^2=(7)$, mais cela ne suffit pas.
Je dois y aller.
Super merci gai requin !
Il n'existe pas d'élément de norme $7$, mais il existe un élément de norme $-7$, par exemple $\sqrt{7}$, d'où il existe bien un idéal de norme $7$, $\mathfrak {p}= (\sqrt{7})$, il est bien premier, donc il convient. Ouf !
Trouver les deux idéaux premiers de $\mathbb Z[\sqrt 7]$ au-dessus de $19$.
Vu que $19$ est impair et ne divise pas le discriminant $28$ de $\mathbb Q(\sqrt 7)$, et que celui-ci est un carré dans $\mathbb{F}_{19}^{\times}$, alors il existe deux idéaux premiers distincts $\mathfrak{p}$ et $\mathfrak{q}$ tels que $(19)=\mathfrak{p} \mathfrak{q}$ (je crois qu'on dit que $(p)$ se décompose dans $K$ ?), et on a alors $N(\mathfrak{p})=N(\mathfrak{q})=19$.
Il n'existe pas d'élément de norme $19$ dans $\mathbb Z[\sqrt 7]$, mais il en existe de norme $-19$ : par exemple $3+2\sqrt{7}$ et $18+7\sqrt{7}$, ils engendrent donc des idéaux premiers.
Là je ne comprends plus, car la norme de ces deux éléments étant $-19$, la norme de leur quotient est $1$, donc leur quotient est inversible, autrement dit ils engendrent le même idéal (et même si on avait trouvé deux éléments de norme $19$ et $-19$, leur quotient aurait été inversible). Du coup, je ne vois pas comment trouver deux idéaux premiers distincts de norme $19$.
Pour l'autre affirmation, je l'ai vue en cours : $\mathbb Z[\sqrt 7]/(5) \simeq \mathbb F_{5}[X]/(f)$ où $f$ est le polynôme minimal de $\sqrt{7}$ sur $\mathbb{Q}$, qui est de degré $2$, donc on obtient une extension de degré $2$ sur $\mathbb{F}_{5}$, soit $\mathbb{F}_{25}$.
Super merci pour tes exercices, qui me permettent de mettre en pratique la théorie.
En fait, ce que j'ai du mal à comprendre, c'est comment on en est venu à s'intéresser à l'anneau des entiers algébriques d'un corps de nombres. Par exemple, quel est l'anneau des entiers de $\mathbb{Q} (\sqrt[3] {2}$) ?
En effet, le quotient de $18+7\sqrt{7}$ et $3+2\sqrt{7}$ est de norme $1$ mais $\notin \mathbb Z(\sqrt 7)$. Donc un élément de $\mathbb Q(\sqrt d)$ peut être de norme $1$ sans appartenir à $\mathbb Z(\sqrt d)$. Autrement dit, la réciproque de "la norme d'un entier algébrique est un entier" est fausse.
Pour trouver la décomposition de $(19)$ dans $\mathbb Z(\sqrt 7)$, il a suffi de trouver un élément de norme $-19$, $\alpha=3+2\sqrt{7}$, son conjugué $\sigma(\alpha)=3-2\sqrt{7}$ est de même norme, le produit des idéaux engendrés est $(\alpha \sigma(\alpha))=(N(\alpha))=(-19)=(19)$, leur quotient n'appartient pas à $\mathbb Z(\sqrt 7)$, donc n'est pas un inversible de cet anneau, donc les idéaux sont distincts. Cela me semble assez général.
Avec $p=2 \mid \Delta$, on a $(3+\sqrt{7})=(3-\sqrt{7})$ (car le quotient $8+3\sqrt{7}$ est un inversible de $\mathbb{Z}[\sqrt{7}]$), et $(2)=(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})=(3+\sqrt{7})^2 (=(16+6 \sqrt{7})=(2)(8+3\sqrt{7})=(2)$, car $(8+3\sqrt{7})=(1)$ inversible !)
Donc $2$ ramifie dans $\mathbb{Z}[\sqrt{7}]$.
Les choses doivent être plus compliquées dans le cas où l'anneau des entiers d'un corps quadratique est $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{d}}{2}]$. Je prendrai un exemple si j'ai le temps.
On a vu que $2$ et $7$ sont les premiers ramifiés.
Saurais-tu montrer que les premiers décomposés sont les $p$ congrus à $1,3,9,19,25,27$ modulo $28$ ?
$p \equiv 1 \mod 4$, et [$\left(\frac{7}{p}\right)=\left(\frac{p}{7}\right) \Leftrightarrow p^3=1$ dans $\mathbb{F}_7^{\times} \Leftrightarrow p \equiv 1, 2, 4 \mod 7] \Leftrightarrow p \equiv 1, 9, 25 \mod 28$,
ou
$p \equiv 3 \mod 4$, et [$\left(\frac{7}{p}\right)=-\left(\frac{p}{7}\right) \Leftrightarrow p^3=-1$ dans $\mathbb{F}_7^{\times} \Leftrightarrow p \equiv 3, 5, 6 \mod 7] \Leftrightarrow p \equiv 3, 19, 27 \mod 28$.
Il faut maintenant que je passe sur un cours. Merci gai requin.
$p$ ramifie dans $K$ seulement dans le cas $p=5$ : $(5)=(5+2 \sqrt{5})(5-2 \sqrt{5})=(5+2 \sqrt{5})^2$.
$2$ est inerte. Par exemple, $11$ est décomposé : $(11)=(4+ \sqrt{5})(4-\sqrt{5})$.
En fait, cela ne parait pas plus compliqué dans ce cas. Le cas qui parait plus compliqué est quand l'anneau des entiers n'est pas principal. Le plus petit entier positif qui le vérifie est $\mathbb Q(\sqrt {15})$ (toujours d'après Wiki). Dans ce cas, on ne peut a priori pas trouver les idéaux premiers de norme $p$ en cherchant un élément de norme $\pm p$ (dans le cas $d=15$ et $p=2$ ou $5 \mid \Delta=60$ par exemple, il n'existe d'élément de norme $\pm 2$ ou $\pm 5$ dans $\mathbb Z[\sqrt {15}]$ l'anneau des entiers). Pour une prochaine fois !
Mais quelle est cette hypothèse dont tu parles dans ta parenthèse ?
L'hypothèse est que $p$ ne doit pas diviser l'indice de $\mathbb Z[\alpha]$ dans $\mathcal O_K$ si tu vois ce dont je parle.
Si $p$ divise $(\mathcal O_K:\mathbb Z[\alpha])$, on peut chercher $\beta\in K$ primitif et entier sur $\mathbb Z$ tel que $p$ ne divise pas $(\mathcal O_K:\mathbb Z[\beta])$.
On sait évidemment faire ça avec une extension quadratique qui peut poser problème pour $p=2$.
Connais-tu un exemple de corps de nombres où le problème d'indice que tu as soulevé pose vraiment problème ?
En fait, cela reste vrai sur un anneau de Dedekind général à condition de supposer $I$ premier et que les extensions residuelles des ideaux premiers divisant $\mathfrak{p}\mathcal{O}_K$ sont séparables sur $\mathcal{O}_k/\mathfrak{p}$ (avec bien sur $K/k$ une extension finie de $k$ le corps de fraction d'un anneau de Dedekind $\mathcal{O}_k$ et $\mathcal{O}_K$ sa fermeture intégrale dans $K$).
Peux-tu préciser ce que tu entends par conducteur ?
C'est facile de montrer que si $\mathfrak{p}O_K$ est premier avec le conducteur $\mathfrak{f}$ alors $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}\mathcal{O}_K$ est isomorphe à $\mathcal{O}_k[\beta]/\mathfrak{p}\mathcal{O}_k[\beta]$.
En particulier la condition $(\mathfrak{p}\mathcal{O}_K, \mathfrak{f})=1$ est plus faible que $(\mathfrak{p}, [\mathcal{O}_K:\mathcal{O}_k[\beta]]O_k)=1$.
Pour $p=3$ il faut chercher un corps de degré au moins $4$, car les diviseurs premiers du PGCD des $[\mathcal O_K : \mathbb Z[\alpha]]$ sont tous plus petit strictement que le degré de $K$. Il semble qu'il y ait une infinité d'exemples de corps quartiques pour $p=3$ dans
et que ce papier contient une démo plus simple du résultat de Bauer.
À nouveau, je ne parle pas l'allemand, et je n'arrive même pas à mettre la main sur une copie du papier.
Force est de constater que mes 7 ans d'allemand se sont définitivement envolés en fumée !
J'ai donc posé la question à un expert que tu connais très bien ;-)
Tout d'abord, on appelle diviseur essentiel un tel $p$.
Pour commencer, il faut regarder [ici] le théorème 8.24 p.148 (Dedekind, encore lui) et surtout le problème 7 p.174 qui fournit un $\mathcal O_K$ dont $2$ est un diviseur essentiel.
Mais plus fort encore, l'un des auteurs :-D conjecture que, pour tout $p$ premier impair, $p$ est un diviseur essentiel de l'anneau des entiers du corps de rupture de $X(X^p-X)+p^2$. Avec force vérifications magma...