Système lié dans $\R^5$

totem
totem
dans Algèbre
Bonjour,

comment montrer que dans $\R^5$, les $4$ vecteurs $u_1=(2;3;-3;4;2), u_2=(3;6;-2;5;9),u_3=(7;18;-2;7;7),u_4=(2;4;-2;3;1)$ forment un système lié ?
Peut-on avoir recours à la nullité des déterminants mineurs ?(lesquels suffisent?)


Merci.

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    On peut réduire leur matrice par la méthode du pivot.
  • totem
    totem
    @Chaurien: que veut dire réduire ici déjà stp ?
  • Poirot
    Poirot
    Ça veut simplement dire d'appliquer l'algorithme du pivot, tu as déjà dû voir ça un jour non ?
  • totem
    totem
    @Poirot: oh oui ! mais il y a si longtemps...:-D

    Et sinon pour le principe : la matrice formée par $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ n'est évidemment pas carrée, on ne peut donc pas calculer le déterminant du système de vecteurs et constater qu'il vaut $0$...néanmoins dans un cas comme celui-ci (où la dimension de l'espace ambiant est strictement supérieure au nombre de vecteurs considérés) peut-on calculer un certain nombre de déterminants mineurs "caractéristiques" qui seront nuls et qui permettent de répondre à la question posée ?
  • Zig
    Zig
    les 4 vecteurs sont liés si et seulement si la matrice $\left(\begin{array}{ccccc} a & 2 & 3 & 7 & 2\\ b & 3 & 6 & 18 & 4\\ c & -3 & -2 & -2 & -2\\ d & 4 & 5 & 7 & 3\\ e & 2 & 9 & 7 & 1 \end{array}\right)$
    est de déterminant nul quel que soit le premier vecteur colonne.
    En développant le déterminant selon cette colonne, on voit les 5 mineurs dont il faut vérifier qu'ils sont nuls...
    .
  • totem
    totem
    @Zig: merci !! bien sûr...:-(
  • brian
    brian
    Application de la méthode de Zig : 
    sage: A = Matrix([[2,3,7,2],[3,6,18,4],[-3,-2,-2,-2],[4,5,7,3],[2,9,7,1]])
sage: [ A.delete_rows([ i]).determinant() for i in range(5) ]
[0, 0, 0, 0, 0]
sage: all([ A.delete_rows([ i]).determinant() == 0 for i in range(5) ])
True
  • Chaurien
    Chaurien
    Calculer cinq déterminants $4 \times 4$, c'est plus long à faire qu'à dire...
    Le plus simple est de réduire la matrice des vecteurs
    $\left(\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 7 & 2\\ 3 & 6 & 18 & 4\\ -3 & -2 & -2 & -2\\ 4 & 5 & 7 & 3\\ 2 & 9 & 7 & 1 \end{array}\right)$
    par la méthode du pivot, jusqu'à la forme échelonnée réduite par lignes (RREF), qui fournira aussi le rang de la famille et une sous-famille libre maximale.
    Il y a sans doute des logiciels de calcul qui le font.
  • Eric
    Eric
    Et en plus le pivot mené jusqu'à obtention de l'échelonnée en ligne et réduite (comme dit Chaurien) donnera explicitement les relations de dépendances linéaires entre les vecteurs de la famille.
    [mode publicité éhontée on] Tout ceci est expliqué en détail dans mon bouquin. [mode publicité éhontée off]

    Calculer un déterminant 5x5 est une très mauvaise méthode.
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