Système lié dans $\R^5$
Réponses
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On peut réduire leur matrice par la méthode du pivot.
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Ça veut simplement dire d'appliquer l'algorithme du pivot, tu as déjà dû voir ça un jour non ?
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@Poirot: oh oui ! mais il y a si longtemps...:-D
Et sinon pour le principe : la matrice formée par $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ n'est évidemment pas carrée, on ne peut donc pas calculer le déterminant du système de vecteurs et constater qu'il vaut $0$...néanmoins dans un cas comme celui-ci (où la dimension de l'espace ambiant est strictement supérieure au nombre de vecteurs considérés) peut-on calculer un certain nombre de déterminants mineurs "caractéristiques" qui seront nuls et qui permettent de répondre à la question posée ? -
les 4 vecteurs sont liés si et seulement si la matrice $\left(\begin{array}{ccccc} a & 2 & 3 & 7 & 2\\ b & 3 & 6 & 18 & 4\\ c & -3 & -2 & -2 & -2\\ d & 4 & 5 & 7 & 3\\ e & 2 & 9 & 7 & 1 \end{array}\right)$
est de déterminant nul quel que soit le premier vecteur colonne.
En développant le déterminant selon cette colonne, on voit les 5 mineurs dont il faut vérifier qu'ils sont nuls...
. -
Application de la méthode de Zig :
sage: A = Matrix([[2,3,7,2],[3,6,18,4],[-3,-2,-2,-2],[4,5,7,3],[2,9,7,1]]) sage: [ A.delete_rows([ i]).determinant() for i in range(5) ] [0, 0, 0, 0, 0] sage: all([ A.delete_rows([ i]).determinant() == 0 for i in range(5) ]) True
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Calculer cinq déterminants $4 \times 4$, c'est plus long à faire qu'à dire...
Le plus simple est de réduire la matrice des vecteurs
$\left(\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 7 & 2\\ 3 & 6 & 18 & 4\\ -3 & -2 & -2 & -2\\ 4 & 5 & 7 & 3\\ 2 & 9 & 7 & 1 \end{array}\right)$
par la méthode du pivot, jusqu'à la forme échelonnée réduite par lignes (RREF), qui fournira aussi le rang de la famille et une sous-famille libre maximale.
Il y a sans doute des logiciels de calcul qui le font. -
Et en plus le pivot mené jusqu'à obtention de l'échelonnée en ligne et réduite (comme dit Chaurien) donnera explicitement les relations de dépendances linéaires entre les vecteurs de la famille.
[mode publicité éhontée on] Tout ceci est expliqué en détail dans mon bouquin. [mode publicité éhontée off]
Calculer un déterminant 5x5 est une très mauvaise méthode.
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