Applications lemme des noyaux
Bonjour
Je bute sur des exemples d'application du lemme de noyaux. Je ne comprends pas c'est quoi l'endomorphisme $Q(T)$ :-S Je pense que c'est une composée d'endomorphismes mais je ne vois pas quel est l'ensemble de départ et d'arrivée de $Q$...
J'aimerais expliciter $\ker (Q(T) )$.
Je ne comprends pas non plus comment prouver l'encadré en rouge.
Je bute sur des exemples d'application du lemme de noyaux. Je ne comprends pas c'est quoi l'endomorphisme $Q(T)$ :-S Je pense que c'est une composée d'endomorphismes mais je ne vois pas quel est l'ensemble de départ et d'arrivée de $Q$...
J'aimerais expliciter $\ker (Q(T) )$.
Je ne comprends pas non plus comment prouver l'encadré en rouge.
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Réponses
Shoking !
Je ne comprends pas qui est l'endomorphisme Q(T).
$\ker Q(T)= \{ u \in \K^{\N} \ | \ Q(T)(u)=0 \} =\{ u \in \K^{\N} \ | \ T^2(u)-a T(u)-bu \}$ ce qui donne le résultat.
Je sais déterminer l'ensemble des suites récurrentes d'ordre $2$ avec le cours de première année en résolvant l'équation caractéristique.
Mais ici, apparemment il faut montrer que $\ker(T- \lambda_1 Id) \bigoplus \ker(T- \lambda_1 Id)= \{ A \lambda_1 ^n + B \lambda_2 ^n \ | \ (A,B) \in \K^2 \}$
Soit $u \in \ker(T- \lambda_1 Id)$ alors $u_{n+1}= \lambda_1 u_n$ et donc $u_{n}= \lambda_1 ^n A$ (suite arithmétique)
Soit $u \in \ker(T- \lambda_2 Id)$ alors $u_{n+1}= \lambda_2 u_n$ et donc $u_{n}= \lambda_2 ^n B$
Il est évident que $\ker(T- \lambda_1 Id) + \ker(T- \lambda_1 Id)= \{ A \lambda_1 ^n + B \lambda_2 ^n \ | \ (A,B) \in \K^2 \}$
Soit $u \in \ker(T- \lambda_1 Id) \cap \ker(T- \lambda_1 Id)$. Alors $u_n=A \lambda_1 ^n = B \lambda_2 ^n$
Si il existe $n \in \N$ tel que $u_n \ne 0$ alors $A$ et $B$ sont non nuls. Supposons que $\lambda_1 < \lambda_2$. Alors $(\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2})^n =\dfrac{B}{A}$
Par passage à la limite on a $B=0$ ce qui est absurde.
Donc $\ker(T- \lambda_1 Id) \cap \ker(T- \lambda_1 Id)= \{0\}$
Je n'ai pas le temps de lire les autres posts, ça t'a peut-être déjà été dit :
$$
Q(T) = T^2-aT-b = [u\mapsto T(T(u)) - aT(u) - bu].
$$ (En abrégé les gens disent: $T\circ T - aT-b.id$).
Gilles si j'ai vu le lien avec les sous-espaces propres mais ça ne me semblait pas utile ici.
En tout cas, la première égalité est l'application du lemme des noyaux :
$$\ker (T^2-aT-b\rm{Id}) = \ker(T-\lambda_1 \rm{Id})\oplus \ker(T-\lambda_2 \rm{Id}).
$$ Ensuite $\ker(T-\lambda_1 \rm{Id})$ c'est toutes les suites $u$ telles que $T(u)=\lambda_1 u$, autrement dit telles que $u_{n+1}=\lambda_1 u_n$ pour tout $n$, d'où $u_n=\lambda_1^n u_0$.