Base de Hamel de $ \mathbb{R} $
dans Algèbre
Bonjour à tous
Si on regarde $ \mathbb{R} $ comme un $ \mathbb{Q} $-espace vectoriel. Comment montrer qu'une base dite de Hamel de $ \mathbb{R} $ existe, mais qu'elle est inaccessible à trouver ? Et que signifie que son existence équivaut à l'axiome du choix ?
Merci d'avance.
Si on regarde $ \mathbb{R} $ comme un $ \mathbb{Q} $-espace vectoriel. Comment montrer qu'une base dite de Hamel de $ \mathbb{R} $ existe, mais qu'elle est inaccessible à trouver ? Et que signifie que son existence équivaut à l'axiome du choix ?
Merci d'avance.
Réponses
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Si tu travailles avec l'axiome du choix, tu peux montrer que n'importe quel espace vectoriel sur un corps $k$, quelle que soit sa dimension, possède une base. Cet énoncé est en fait équivalent à l'axiome du choix, au sens où l'on peut démontrer l'axiome du choix à partir de l'axiomatique $\mathsf{ZF}$ et cet énoncé.
On peut construire des modèles de $\mathsf{ZF}$ où $\mathbb R$ n'admet pas de base sur $\mathbb Q$, ce qui prouve qu'il est impossible d'exhiber une telle base "à la main", c'est-à-dire simplement avec les outils de $\mathsf{ZF}$. -
J’imagine qu’il y a toutes les dimensions finies et sinon la dimension infinie dont la définition est « ne pas être de dimension finie ». Non ?
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Poirot a écrit:tu travailles avec l'axiome du choix, tu peux montrer que n'importe quel espace vectoriel sur un corps $k$, quelle que soit sa dimension, possède une base. Cet énoncé est en fait équivalent à l'axiome du choix, au sens où l'on peut démontrer l'axiome du choix à partir de l'axiomatique $\mathsf{ZF}$ et cet énoncé.
Ah oui, c'est vrai. Merci.
Si $ V $ est ce $ k $ - espace vectoriel (de dimension quelconque), alors, par l'axiome de choix, on choisit un élément $ v_1 \in V $, puis un élément $ v_2 \in V \setminus \{ v_1 \} $, puis un élément $ v_3 \in V \setminus \{ v_1 , v_2 \} $ ... À l'ordre de $ k $, on choisit par récurrence, un élément $ v_k \in V \setminus \{ v_1 , v_2 , \dots , v_{k-1} \} $, et ce quelque soit $ k \geq 0 $, ce qui complète toute la base finalement, c'est ainsi qu'on construit une base pour $ V $ à l'aide de l'axiome du choix. Ainsi, l'existence d'une base de $ V $ équivaut à l'axiome de choix.Poirot a écrit:On peut construire des modèles de $\mathsf{ZF}$ où $\mathbb R$ n'admet pas de base sur $\mathbb Q$ ...
Peux tu me montrer comment Poirot ?
Merci d'avance. -
Pablo a écrit:Si $ V $ est ce $ k $ - espace vectoriel (de dimension quelconque), alors, par l'axiome de choix, on choisit un élément $ v_1 \in V $, puis un élément $ v_2 \in V \setminus \{ v_1 \} $, puis un élément $ v_3 \in V \setminus \{ v_1 , v_2 \} $ ... À l'ordre de $ k $, on choisit par récurrence, un élément $ v_k \in V \setminus \{ v_1 , v_2 , \dots , v_{k-1} \} $, et ce quelque soit $ k \geq 0 $, ce qui complète toute la base finalement, c'est ainsi qu'on construit une base pour $ V $ à l'aide de l'axiome du choix. Ainsi, l'existence d'une base de $ V $ équivaut à l'axiome de choix.
C'est vraiment n'importe quoi... Arrête de parler de choses que tu ne comprends pas.Pablo a écrit:Peux-tu me montrer comment Poirot ?
Non, c'est difficile, je ne sais pas le faire moi-même. Tu peux te renseigner sur le modèle de Solovay. -
Poirot a écrit:C'est vraiment n'importe quoi... Arrête de parler de choses que tu ne comprends pas.
Pourquoi tu dis que c'est n'importe quoi ?. -
Traduction : "Poirot, tes réponses ne sont pas pertinentes"
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Poirot,
Explique moi pourquoi ça te paraît n'importe quoi, alors que tout ce que j'ai raconté est raisonnable. -
La famille que tu construis n'a aucune raison d'être libre, tu ne démontres pas l'équivalence et je pense que ce raisonnement ne va pas marcher pour des dimensions "indénombrables"
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Bonjour,
Pablo, il suffit de te lire $3$ s pour voir que tu écris n'importe quoi.
- La lettre $k$ a deux significations.
- Tu confonds famille de vecteurs et sous espace engendré.
- Tu utilises une récurrence dans un contexte non adapté.
Cordialement,
Rescassol -
Oui. Merci ThomasB23.
Ce sont des choses que j'ai oubliées de rajouter, et que tu as complétées toi. Mais, l'idée reste correcte il me semble. Elle n'a rien à lui reprocher. -
Si tu penses que les maths marchent comme ça, ça ne m'étonne pas que tu aies réussi à t'auto-persuader d'avoir résolu la conjecture de Hodge. Non, il n'y a rien à sauver dans ton "raisonnement", ça n'a juste aucun sens.
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Pour répondre au premier post:
A/ Les choses L1-L2-L3
1/ Une famille libre maximal à être libre est une base. Par Zorn, pour tout espace vectoriel sur n'importe quel corps existe.
2/ Zorn et l'axiome du choix sont équivalents
B/ Les choses issues de la recherche des 70 dernières années:
1/ L'axiome du choix ne peut pas être prouvé dans ZF (sauf si ZF prouve aussi 0=1)
2/ Sa négation ne peut pas non plus être prouvée (ça, c'est plus facile, mais pas Li)
3/ Le fait que l'énoncé "tout espace vectoriel admet une base, et ce quelque soit le corps" entraine l'axiome du choix est facile et je l'ai déjà raconté sur le forum. Ca reste néanmoins peu rentable que je passe des dizaines de minutes à t'en retaper une preuve Pablo, car je n'ai pas une perception de ta démarche comme étant mathématique (c'est à dire déductive). Tu n'apprécierais donc pas l'argument, qui est en plus "assez pénible")Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Pablo: Pourquoi une base de $\mathbb{R}$ considéré comme $\mathbb{Q}$ espace vectoriel serait dénombrable?
(c'est à dire que l'ensemble des éléments de cette base serait équipotent à $\mathbb{N}$) -
Merci @CC, c'est clair pour le sens direct. Qu'en est-il du sens inverse ? C'est-à-dire, qu'en est-il du sens : "tout espace vectoriel admet une base, et ce quelque soit le corps" entraîne l'axiome du choix. S'il te plaît, j'en ai vraiment besoin. Merci.
@FdP
Je n'ai nullement dit de ma vie, qu'une base de $ \mathbb{R} $, considéré comme $ \mathbb{Q} $ - espace vectoriel, est de dimension dénombrable. Si cette base était dénombrable sur $ \mathbb{Q} $, alors, le sous-espace de $ \mathbb{R} $ engendré par cette base sur $ \mathbb{Q} $ aurait été lui aussi dénombrable. Or, $ \mathbb{R} $ est indénombrable. Ce qui est absurde. -
Pablo a écrit:Je n'ai nullement dit de ma vie, qu'une base de $\mathbb R$, considéré comme $\mathbb R$ - espace vectoriel, est de dimension dénombrable.Pablo a écrit:À l'ordre de $ k $, on choisit par récurrence, un élément $ v_k \in V \setminus \{ v_1 , v_2 , \dots , v_{k-1} \} $, et ce quelque soit $ k \geq 0 $, ce qui complète toute la base finalement
Tu es d'une mauvaise foi incroyable.
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