Endomorphismes nilpotents commutant
Bonsoir,
Montrer que pour toute famille $(u_1, \cdots, u_n)$ d'endomophismes nilpotents commutant deux à deux, d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$, on a : $u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_n=0$
Je ne comprends pas comment obtenir la dernière ligne. Toujours autant de mal avec les endomorphismes induits.
Montrer que pour toute famille $(u_1, \cdots, u_n)$ d'endomophismes nilpotents commutant deux à deux, d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$, on a : $u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_n=0$
Je ne comprends pas comment obtenir la dernière ligne. Toujours autant de mal avec les endomorphismes induits.
Réponses
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Un jour, peut-être, Oshine apprendra à lire.
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Bonjour,
Si je ne lis que ce que OShine a écrit, j'en déduis que la composée de $n$ fois l'identité est nulle.
Cordialement,
Rescassol
Edit: C'est sûr, en rajoutant la nilpotence, ça va mieux, tu aurais pu t'en apercevoir plus tôt. -
L'évidence est la suivante : si $(u_1 \circ \dots \circ u_{n-1})_{\mid \text{Im}(u_n)} = 0$ alors que vaut $u_1 \circ \dots \circ u_n(x)$ pour tout $x \in E$ ?
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Je n'ai pas compris non plus le $L(E) =\K id_E$ pour $n=1$.
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On en a déjà parlé quinze fois avec toi, quels sont les endomorphismes d'une droite ?
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Poirot ok merci je vais y réfléchir.
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OShine a écrit:http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2231292,2231292#msg-2231292
Montrer que pour toute famille $(u_1, \cdots , u_n)$ d'endomophismes commutant deux à deux, d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$, on a : $u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_n=0$
Il ne manque pas la nilpotence ? -
Si $\dim(E)=1$ alors $E=\K$ et les applications linéaires sont les applications telles qu'il existe $\lambda \in \K$ tel que $\forall x \in \K \ \ u(x)=\lambda x$.
Par composition, on a $v=u_1 ' \circ \cdots \circ u_{n-1} ' \in Im(u_n)$.
Donc $\forall y \in Im(u_n)$ on a $v(y)=u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_{n-1} (y)=0$
Mais $y \in Im(u_n)$ donc il existe $x \in E$ tel que $y=u_n(x)$
Donc il existe $x \in E$ tel que $u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_{n-1} \circ u_n(x)=0$
Mais je ne l'ai pas démontré $\forall x \in E$ :-S -
Encore du grand n'importe quoi parce que tu ne comprends rien aux quantificateurs !!! Tu ne veux pas commencer par là ? Tu te rends compte du temps que tu perds avec ça ?
Tu veux montrer un truc qui commence par "quel que soit $x$" donc tu commences par "soit $x$" et tu laisses défiler, c'est complètement immédiat. -
Etanche merci tu as raison.
Soit $x \in E$.
L'égalité $u_1 ' \circ u_2 ' \circ \cdots \circ u_{n-1} '=0$ c'est valable que pour $x \in Im(u_n)$ donc je ne vois pas comment continuer avec $x \in E$ quelconque. -
Comme dit Poirot, c'est un coup de quantificateurs.
Pour tout $x=u_n(x')\in\Im(u_n)$, on a $u_1 ' \circ u_2 ' \circ \cdots \circ u_{n-1} '(x)=0$.
Comment va-t-on bien pouvoir conclure ? ::o -
Sauf qu'on ne te parle pas de $u_1' \circ \dots \circ u_{n-1}'(x)$ mais de $u_1 \circ \dots \circ u_n(x)$...
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@Marsup ça marche je vois l'idée.
@Poirot merci j'ai suivi ton conseil et ça fonctionne (tu)
Soit $x \in E$.
On a $u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_n(x)=u_1 \circ u_2 \circ \cdots u_{n-1} ( u_n(x))$
Posons $y=u_n(x) \in Im(u_n)$.
Alors $u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_n(x)=u_1 \circ u_2 \circ \cdots u_{n-1} (y)$
Mais $\forall y \in Im(u_n)$ on a $u_i(y)=u_i '(y)$ pat définition d'un endomorphisme induit.
Donc $u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_n(x)= u_1 ' \circ u_2 ' \circ \cdots u_{n-1} ' (y) =0$
On a montré $\boxed{\forall x \in E \ \ u_1 \circ u_2 \circ \cdots \circ u_n(x)=0}$ -
On peut aussi utiliser la trigonalisation simultanée que tu as vue précédemment pour aller plus vite. Mais essaie déjà de comprendre cette preuve.
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Oui pour l'instant je reste sur les preuves les plus élémentaires, qui me posent déjà assez de problème.
Je vois que la notion d'endomorphisme induit à une importance fondamentale dans la réduction. J'ai toujours eu du mal avec cette notion, je dois encore la travailler. -
OS a écrit:Je vois que la notion d'endomorphisme induit à une importance fondamentale dans la réduction
Pas du tout.
Ce qui a une importance, c'est la relation de la preuve intuitive à la preuve rédigée. Donc la sincérité (et un peu de formalisme).
Comme tu essaies d'obtenir des preuves rédigées sans considérer les sujets "dignes d'être pensés par toi, avant, de façon intuitive ET PERSONNELLE", tu joues au collecteur et classificateur de hiéroglyphes.
Tu viens de faire une découverte : un perceptron ne progresse pas en maths. Ce n'est pas "de la programmation linéaire" faire des maths. Tu es une des rares personnes au monde à en apporter une preuve expérimentale consistante en items variés.
Ici le résultat est EVIDENT par récurrence du fait que:
$$ [\forall x: (u_1\circ \dots \circ u_8 )\ (u_9(x)) = 0] \to [u_1\circ \dots u_9=0])$$
et $F:=dim(Im(u_9))<dim(E)$ et chaque $u_i: F\to F$, est nilpotent
.. à la condition d'initialiser.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Christophe C ok vu sous cet angle pas besoin d'endomorphisme induit.
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Je ne suis pas sûr que tu penses sincèrement ce que tu dis. Ce n'est pas "tellement" la question.
La notion de machin induit est effectivement snob telle que présentée dans ta phrase précédente. Cela dit, j'ai utilisé le fait que
$$ \forall x\in F: u_4 (x)\in F$$
par exemple, qui lui "n'est pas snob", et nécessite d'être justifié. Mais ce n'est pas une question de vocabulaire.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
J'ai compris l'idée.
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Recherche d’une autre preuve.
Ici les $u_k$ sont nilpotents il existe $p_k$ entier tel que $u_k^{p_k}=0$ (1)
Existe-t-il une preuve utilisant (1) et des polynômes ?
Du genre des polynômes $Q_j(X_1,...,X_n)$ à plusieurs variables tel que $u_1o...ou_n = \sum_{j=1}^{t}Q_j(u_{1}^{a_1.p_1}, ...,u_{n}^{a_n.p_n})$
avec
$ X_1X_2...X_n = \sum_{j=1}^{t} Q_j(X_1^{a_1},...,X_n^{a_n})$ avec $Q_j(0,...,0)=0$
et les $a_j\geq p_j$ , $a_j$ entiers. ? -
Etanche, je n'ai jamais étudié les polynômes à plusieurs variables.
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Bonjour,
> je n'ai jamais étudié les polynômes à plusieurs variables.
Et alors ? Si tu te contentes d'étudier ce que tu as déjà étudié, tu ne risques pas d'avancer.
Cordialement,
Rescassol -
J'ai beaucoup à voir en ce moment sur la réduction des endomorphismes.
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Oui menfin ça ne change rien, tu étais face à un exo qui te demande de prouver qu'une composée de 274 machins qui baissent la dimension d'au moins 1 de chaque espace sur lesquels ils sont stables baisse la dimension de tout espace stable d'au moins 274...
Manger 3.28 kilos de feuilles de papier ne change rien à l'appropriation de ces 2 lignes triviales.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour!
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