Rotations dans $\R^2$

Bonjour à tous

Permettez moi de vous joindre une démonstration qui me laisse perplexe. Alors je pourrais vous écrire un long paragraphe sur pourquoi je pense que c'est faux mais pour nous faire gagner du temps je vais, pour l'instant, seulement pointer la ligne qui m'intéresse : le calcul de $s\circ \rho(\theta) \circ s (e_{1})$.

Ce qui m'embête c'est qu'il utilise le fait que dans le base $(e_{1},e_{2})$ il prétend que $\rho(\theta)$ s'écrit
$$
\begin{pmatrix} \cos(\theta) & - \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}.

$$ Mais vous remarquez qu'il définit $\rho(\theta)$ avant la base ! Et ça change tout. En effet $\theta$ dépend de la base. Par exemple la matrice
$$
\begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

$$ de rotation $\pi \over 2$ dans la base canonique s'écrit comment dans la base $(e_{1}+e_{2}, e_{1} - e_{2})$ normalisé par $1 \over \sqrt{2}$ ?
Elle s'écrit
$$
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

$$ Une rotation de $- \pi \over 2$.

Bon finalement je suis en train de faire le paragraphe que je souhaitais éviter... Peut-être que c'est mieux pour cerner mon problème. Maintenant comment lire cette preuve ? Est-ce que la forme matricielle
$$
\begin{pmatrix} \cos(\theta) & - \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}

$$ c'est la forme de la rotation dans la nouvelle base ? NON ! Ce n'est pas possible car $\theta$ dépend de la base. Donc je prétends qu'il y a une erreur ou du moins un erreur de compréhension de ma part. :)o
Bien à vous.