Oral X 2015 équation de matrice
Bonsoir,
Un exercice de mon livre. Je n'ai pas réussi et je ne comprends pas la correction du livre qui procède par analyse synthèse
Résoudre dans $\mathcal M_2(\C)$ l'équation $M^2+M=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
Le corrigé donne directement un polynôme annulateur de $M$ mais je ne vois pas comment le trouver.
Un exercice de mon livre. Je n'ai pas réussi et je ne comprends pas la correction du livre qui procède par analyse synthèse
Résoudre dans $\mathcal M_2(\C)$ l'équation $M^2+M=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
Le corrigé donne directement un polynôme annulateur de $M$ mais je ne vois pas comment le trouver.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
il me semble, sauf erreur, qu'il est bien connu que $\forall M\in\mathcal M_2(\mathbb C)~,~M^2-tr(M).M+\det(M)I_2=0$
$$
\left(\begin{array}{cc}
-1& -1\\-1 & -1\end{array}\right)\qquad\text{et}\qquad \left(\begin{array}{cc}
\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{array}\right).
$$ Il reste bien entendu à déterminer les solutions inversibles (s'il en existe).
Vu que toute solution $M$ doit vérifier $\det(M).\det(M+I)=0$.
$\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{cc}-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{array}\right)$
Ce n'est pas la solution que j'utilise habituellement car elle cache un peu tout sous le tapis et ne permet pas vraiment de comprendre comment s'en sortir dans le cas général, mais elle possède l'avantage de donner les solutions très rapidement et de les exprimer simplement en fonction de $J$.
D'après le corrigé de mon livre, tu as oublié 2 solutions.
@Bisam
D'accord bien vu !
Le début du corrigé donne $A$ est annulée par son polynôme caractéristique $X(X-2)$. (Pas de problème)
Le polynôme $(X^2+X)(X^2+X-2)=X(X+1)(X-1)(X+2)$ annule donc $M$. (Pas compris).
Même, plus précisément, je me disais qu'on diagonalisait d'abord la matrice Attila à droite, et puis ensuite on cherchait $M$ diagonalisée par la même matrice de passage.
Pourquoi ne pas répondre avec l'indication de @elhor. À condition de bien la mener, il me semble que c'est sûrement la solution la plus basique mais aussi la plus simple.
En posant $t=\tr(M)$ et $d=\det M$ on a $M^2-t M +d I =0$ (cela s'appelle le th de Cayley-Hamilton).
En soustrayant avec $M^2+M= J$ on obtient $(1+t) M= J+ d I$.
Évidemment $t \neq -1$, d'où $M=1/(1+t) (J+ d I)$. Il reste à écrire le système $\tr(M)=t$ et $\det(M)=d$. Ce qui donne un système de 2 équations à 2 inconnues facile à résoudre...
Une autre indication de solution à la portée de @Os On pose $K =P^{-1}M P $ où $P$ est la (une) matrice qui diagonalise $J$.
Alors $K^2 +K =D$, avec $D= P^{-1}J P =\mathrm{diag}(0,2)$
$K$ commute avec $D$ donc $K$ est diagonale. Poser $K=\mathrm{diag} (a,b) $ le système est facile à résoudre, on a toutes les solutions $K$ puis toutes les solutions $P$.
Sot $a$ une v.p de $M$ de vecteur propre $ u. $
On a $ (M^2 + M) u= ( a^2 +a ) u= J u . $
Discuter le cas $a=0$ et $a=-1.$ alors $u =e_1-e_2$ ...
Discuter le cas $( a^2 +a ) \neq 0$ et alors $u = e_1+ e_2$ et $a^2+a=2 $.
à finir pour @Os mais bien mener la discussion !!!
c'est à dire que $\mathcal S=\displaystyle\{M\in\mathcal M_2(\mathbb C)\mid M^2+M=J\}$ avec $J=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right).$
On a $\mathcal S=\mathcal S_1\cup\mathcal S_2$, où
$\mathcal S_1=\displaystyle\{M\in\mathcal M_2(\mathbb C)\mid M^2+M=J,~\det(M)=0\}$ et $\mathcal S_2=\displaystyle\{M\in\mathcal M_2(\mathbb C)\mid M^2+M=J,~\det(M+I)=0\}$
avec les notations de bd2017 $~,~t=\tr(M)$
$M\in\mathcal S_1\Rightarrow (1+t)M=J$ d'où $(1+t)t=2$ ce qui donne $t=1$ ou $t=-2$ et donc $\mathcal S_1=\displaystyle\big\{-J,\frac{J}{2}\big\}$
$M\in\mathcal S_2\Rightarrow M'^2-M'=J,~M'=M+I~,~\det(M')=0\Rightarrow (t+1)M'=J$ ce qui donne $t=0$ ou $t=-3$
et donc $\mathcal S_2=\displaystyle\big\{-I+J,-I-\frac{J}{2}\big\}$
Je ne comprends rien à la méthode du commutant.
Elhor avait faux dans son premier message, il manquait des solutions.
Je reviens sur la méthode élémentaire de mon livre.
$\chi_A(X)=X(X-2)$
Donc $P(X)=(X^2+X)(X^2+X-2)$ est annulateur de $A$. Or $\boxed{P(X)=X(X+1)(X-1)(X+2)}$ annule $M$.
$P$ est scindé à racines simples donc $M$ est diagonalisable.
Soit $P \in GL_2(\C)$ tel que $D=P^{-1} M P= \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}$
Donc $P^{-1} A P= \begin{pmatrix} \alpha^2+\alpha & 0 \\ 0 & \beta^2+\beta \end{pmatrix}$
Ainsi $\boxed{\{\alpha^2+\alpha,\beta^2+\beta \}=\{0,2\} }$
La matrice $M$ a donc pour polynôme caractéristique et annulateur l'un des 4 polynômes suivants :
$P_1(X)=X(X-1)$ ; $P_2(X)=X(X+2)$, $P_3(X)=(X+1)(X-1)$ et $P_4(X)=(X+1)(X+2)$
Dans le premier cas, on a $\chi_M(X)=X(X-1)$ donc $M^2-M=0$ et $M^2+M=A$ donc $M=\dfrac{1}{2} A$
Dans le deuxième cas, on a $\chi_M(X)=X(X+2)$ donc $M=-A$
Dans le troisième cas, on trouve $M=A-I_n$
Dans le dernier cas, on a $M=\dfrac{-1}{2} A-I_n$
Par conséquent $\boxed{\mathcal S=\displaystyle\{ \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \}} $
a & b\\
b & a
\end{pmatrix}$ ?
Trouver toutes les matrices $\displaystyle M \in M_2(\C)$ telles que $\displaystyle M^2+M=J$ avec $J = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1&1 \end{pmatrix}.$
Soit $\displaystyle M$ une telle matrice, alors $(\star)$ $\displaystyle JM=MJ.$ On note $\displaystyle M = \begin{pmatrix} a & b \\ c&d \end{pmatrix}.$ On obtient par $(\star)$ : $\displaystyle b=c, a=d.$ On reporte dans l'équation matricelle et alors on obtient par calcul direct : $\displaystyle a^2+a+b^2-1 = 0, b(2a+1)=1.$
On reporte $b$ dans la première équation de ce système et on factorise le polynôme en $a$ : $\displaystyle 4a^4 + 8 a^3 + a^2-3 a = a (a+1)(a+3/2)(a-1/2) = 0.$
Les solutions $\displaystyle (a,b)$ sont donc : $\displaystyle (0,1), (-1,-1),(-3/2,-1/2),(1/2,1/2).$
On vérifie la réciproque.
Peut-on trouver 2 matrices à coefficients réels non inversibles A et B dont le produit est une matrice inversible?
Réfléchis un petit peu aussi avant de répondre
@Noobey
La réponse est non. Si $A$ et $B$ ne sont pas inversibles alors $\det(A)=\det(B)=0$
Donc $\det(AB)=\det(A)\det(B)=0$ donc $AB$ n'est pas inversible.
Soit $X=(1,1)$ que vaut $XX^t$ ?
Personnellement je trouve que la difficulté c'est de trouver la question (:D
OShine, l'énoncé ne dit pas que $A$ et $B$ possèdent un déterminant.
Cordialement,
Rescassol
$\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}$
@Noobey
J'ai essayé sur plusieurs exemples pour moi c'est non.
Comment calcules-tu le produit d'une matrice (n, 1) et d'une matrice (1,n) ?
Cette matrice $ \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ ayant deux valeurs propres réelles positives distinctes, a exactement 4 racines carrées réelles, qui ne sont pas très difficiles à calculer. On a donc 4 solutions pour l'équation proposée.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Julian
Une matrice (n,n)
Tout ça + ma question c'est lié ... réfléchis de nouveau ...
Mais je n'ai jamais entendu parler de l'inversibilité d'un vecteur ligne ou colonne.
Ben, ça montre deux matrices non inversibles, un ligne et une colonne, dont le produit est inversible.
Cordialement,
Rescassol
J'avais fait 4-5 essais sur des matrices $(2,3)$ et $(3,2)$ ça donnait toujours une matrice non inversible.
Soient $A=[1\space 1]$ et $B=A^t$.
$A$ et $B\space$ sont non inversibles.
$A\times B=[2]$ qui est inversible.
Cordialement,
Rescassol
Tu te fatigues pas toi :-D
@Rescassol
La matrice $A=(1 1)$ n'est pas inversible car elle n'est pas carrée ?
Oui.
Cordialement,
Rescassol
Il a fait l'effort de faire un programme pour répondre à la question. Ca s'appelle une démarche de recherche pour résoudre un problème. C'est exactement ce qu'on attend d'un matheux et exactement ce que tu n'as pas fait en tant qu'ex informaticien...
Cela dit, le vrai problème c'est que tu ne connaissais pas ton cours (définition de matrice inversible). Mais bon, je pourrais te le dire 100 fois que ça changerait rien. En prépa pour ma part, c'était 0 si cours pas su au mot près en interro de cours et pas la moyenne en colle si cours pas su même si l'exo se passait bien/très bien.
Quand on voit le petit test de Noobey, non seulement la réponse est instantanée, mais de plus, on se fait presque simultanément la réflexion "Tiens, c'est malin, ça, OShine ne va pas le voir, et il y en a pour des plombes".
Cordialement,
Rescassol
Je sais que Math Coss n'a pas besoin de logiciel pour résoudre un exercice de ce niveau.
Rescassol Noobey connait mes failles :-(
Ce n'est pas grave O Shine