Oral X 2015 équation de matrice
Bonsoir,
Un exercice de mon livre. Je n'ai pas réussi et je ne comprends pas la correction du livre qui procède par analyse synthèse
Résoudre dans $\mathcal M_2(\C)$ l'équation $M^2+M=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
Le corrigé donne directement un polynôme annulateur de $M$ mais je ne vois pas comment le trouver.
Un exercice de mon livre. Je n'ai pas réussi et je ne comprends pas la correction du livre qui procède par analyse synthèse
Résoudre dans $\mathcal M_2(\C)$ l'équation $M^2+M=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
Le corrigé donne directement un polynôme annulateur de $M$ mais je ne vois pas comment le trouver.
Réponses
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Bonjour ,
il me semble, sauf erreur, qu'il est bien connu que $\forall M\in\mathcal M_2(\mathbb C)~,~M^2-tr(M).M+\det(M)I_2=0$ -
Avec ça on trouve, sauf erreur, que les solutions non inversibles de notre équation sont exclusivement les deux matrices :
$$
\left(\begin{array}{cc}
-1& -1\\-1 & -1\end{array}\right)\qquad\text{et}\qquad \left(\begin{array}{cc}
\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{array}\right).
$$ Il reste bien entendu à déterminer les solutions inversibles (s'il en existe).
Vu que toute solution $M$ doit vérifier $\det(M).\det(M+I)=0$. -
on trouve, sauf erreur, comme solutions inversibles exclusivement les deux matrices :
$\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{cc}-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{array}\right)$ -
Je ne sais pas comment s'y prend ton livre, Oshine, mais si on note $J=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ alors l'équation $J^2=2J$ fournit immédiatement une équation en $M$ qui donne un polynôme annulateur scindé à racines simples.
Ce n'est pas la solution que j'utilise habituellement car elle cache un peu tout sous le tapis et ne permet pas vraiment de comprendre comment s'en sortir dans le cas général, mais elle possède l'avantage de donner les solutions très rapidement et de les exprimer simplement en fonction de $J$. -
@Elhor sauf qu'on ne connaît pas la trace de $M$ ni son déterminant.
D'après le corrigé de mon livre, tu as oublié 2 solutions.
@Bisam
D'accord bien vu !
Le début du corrigé donne $A$ est annulée par son polynôme caractéristique $X(X-2)$. (Pas de problème)
Le polynôme $(X^2+X)(X^2+X-2)=X(X+1)(X-1)(X+2)$ annule donc $M$. (Pas compris). -
Pas compris parce que tu n'as pas fait le calcul de $(M^2+M)(M^2+M-2I_2)$ en remplaçant immédiatement ce qu'il y a à remplacer.
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Comment on sait qu'il faut calculer $(M^2+M)(M^2+M-2I_2)$ ?
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Tu ne vois vraiment pas le rapport entre "$A$ est annulée par $X(X-2)$" et "$M$ est annulée par $Y(Y-2)$, où $Y=X^2+X$ et $M^2+M = A$" ?
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Une autre façon de procéder : toute solution $M$ commute avec $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ ; donc, on la cherche dans le commutant de cette matrice, càd celles de la forme $\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$.
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Poirot ok merci je vais essayer de continuer sans regarder la solution.
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Bravo john_john, je pensais la même chose.
Même, plus précisément, je me disais qu'on diagonalisait d'abord la matrice Attila à droite, et puis ensuite on cherchait $M$ diagonalisée par la même matrice de passage. -
$\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}$Bonjour
Pourquoi ne pas répondre avec l'indication de @elhor. À condition de bien la mener, il me semble que c'est sûrement la solution la plus basique mais aussi la plus simple.
En posant $t=\tr(M)$ et $d=\det M$ on a $M^2-t M +d I =0$ (cela s'appelle le th de Cayley-Hamilton).
En soustrayant avec $M^2+M= J$ on obtient $(1+t) M= J+ d I$.
Évidemment $t \neq -1$, d'où $M=1/(1+t) (J+ d I)$. Il reste à écrire le système $\tr(M)=t$ et $\det(M)=d$. Ce qui donne un système de 2 équations à 2 inconnues facile à résoudre... -
Le gars qui sort cette méthode "Terminale spé Maths" à l'oral de l'X doit être sacrément à l'aise dans ses baskets (:P)
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Rebonjour
Une autre indication de solution à la portée de @Os On pose $K =P^{-1}M P $ où $P$ est la (une) matrice qui diagonalise $J$.
Alors $K^2 +K =D$, avec $D= P^{-1}J P =\mathrm{diag}(0,2)$
$K$ commute avec $D$ donc $K$ est diagonale. Poser $K=\mathrm{diag} (a,b) $ le système est facile à résoudre, on a toutes les solutions $K$ puis toutes les solutions $P$. -
Encore une autre façon de résoudre le problème toujours à la portée de @Os.
Sot $a$ une v.p de $M$ de vecteur propre $ u. $
On a $ (M^2 + M) u= ( a^2 +a ) u= J u . $
Discuter le cas $a=0$ et $a=-1.$ alors $u =e_1-e_2$ ...
Discuter le cas $( a^2 +a ) \neq 0$ et alors $u = e_1+ e_2$ et $a^2+a=2 $.
à finir pour @Os mais bien mener la discussion !!! -
En notant $\mathcal S$ l'ensemble solution de cette équation
c'est à dire que $\mathcal S=\displaystyle\{M\in\mathcal M_2(\mathbb C)\mid M^2+M=J\}$ avec $J=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right).$
On a $\mathcal S=\mathcal S_1\cup\mathcal S_2$, où
$\mathcal S_1=\displaystyle\{M\in\mathcal M_2(\mathbb C)\mid M^2+M=J,~\det(M)=0\}$ et $\mathcal S_2=\displaystyle\{M\in\mathcal M_2(\mathbb C)\mid M^2+M=J,~\det(M+I)=0\}$
avec les notations de bd2017 $~,~t=\tr(M)$
$M\in\mathcal S_1\Rightarrow (1+t)M=J$ d'où $(1+t)t=2$ ce qui donne $t=1$ ou $t=-2$ et donc $\mathcal S_1=\displaystyle\big\{-J,\frac{J}{2}\big\}$
$M\in\mathcal S_2\Rightarrow M'^2-M'=J,~M'=M+I~,~\det(M')=0\Rightarrow (t+1)M'=J$ ce qui donne $t=0$ ou $t=-3$
et donc $\mathcal S_2=\displaystyle\big\{-I+J,-I-\frac{J}{2}\big\}$ -
Bd2017 vous m'embrouillez avec 50 méthodes. Mieux vaut se concentrer sur la méthode initiale et la faire bien non ?
Je ne comprends rien à la méthode du commutant.
Elhor avait faux dans son premier message, il manquait des solutions.
Je reviens sur la méthode élémentaire de mon livre.
$\chi_A(X)=X(X-2)$
Donc $P(X)=(X^2+X)(X^2+X-2)$ est annulateur de $A$. Or $\boxed{P(X)=X(X+1)(X-1)(X+2)}$ annule $M$.
$P$ est scindé à racines simples donc $M$ est diagonalisable.
Soit $P \in GL_2(\C)$ tel que $D=P^{-1} M P= \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}$
Donc $P^{-1} A P= \begin{pmatrix} \alpha^2+\alpha & 0 \\ 0 & \beta^2+\beta \end{pmatrix}$
Ainsi $\boxed{\{\alpha^2+\alpha,\beta^2+\beta \}=\{0,2\} }$
La matrice $M$ a donc pour polynôme caractéristique et annulateur l'un des 4 polynômes suivants :
$P_1(X)=X(X-1)$ ; $P_2(X)=X(X+2)$, $P_3(X)=(X+1)(X-1)$ et $P_4(X)=(X+1)(X+2)$
Dans le premier cas, on a $\chi_M(X)=X(X-1)$ donc $M^2-M=0$ et $M^2+M=A$ donc $M=\dfrac{1}{2} A$
Dans le deuxième cas, on a $\chi_M(X)=X(X+2)$ donc $M=-A$
Dans le troisième cas, on trouve $M=A-I_n$
Dans le dernier cas, on a $M=\dfrac{-1}{2} A-I_n$
Par conséquent $\boxed{\mathcal S=\displaystyle\{ \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \}} $ -
Pour la méthode du commutant comment on trouve toutes les matrices de la forme $\begin{pmatrix}
a & b\\
b & a
\end{pmatrix}$ ? -
Bonjour,
Trouver toutes les matrices $\displaystyle M \in M_2(\C)$ telles que $\displaystyle M^2+M=J$ avec $J = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1&1 \end{pmatrix}.$
Soit $\displaystyle M$ une telle matrice, alors $(\star)$ $\displaystyle JM=MJ.$ On note $\displaystyle M = \begin{pmatrix} a & b \\ c&d \end{pmatrix}.$ On obtient par $(\star)$ : $\displaystyle b=c, a=d.$ On reporte dans l'équation matricelle et alors on obtient par calcul direct : $\displaystyle a^2+a+b^2-1 = 0, b(2a+1)=1.$
On reporte $b$ dans la première équation de ce système et on factorise le polynôme en $a$ : $\displaystyle 4a^4 + 8 a^3 + a^2-3 a = a (a+1)(a+3/2)(a-1/2) = 0.$
Les solutions $\displaystyle (a,b)$ sont donc : $\displaystyle (0,1), (-1,-1),(-3/2,-1/2),(1/2,1/2).$
On vérifie la réciproque. -
Tiens Oshine encore un petit test :
Peut-on trouver 2 matrices à coefficients réels non inversibles A et B dont le produit est une matrice inversible?
Réfléchis un petit peu aussi avant de répondre -
Je t'avais dit de réfléchir :-o si tu pouvais arrêter de faire le robot quand tu réponds à une question...
-
Bonjour
Soit $X=(1,1)$ que vaut $XX^t$ ?
Personnellement je trouve que la difficulté c'est de trouver la question (:D -
Vachement dur en effet X:-(
-
Bonjour,
OShine, l'énoncé ne dit pas que $A$ et $B$ possèdent un déterminant.
Cordialement,
Rescassol -
OShine,
Comment calcules-tu le produit d'une matrice (n, 1) et d'une matrice (1,n) ? -
Toujours fidèle à la Forme Canonique, moi j’écrirais : $(2M+I)^2=\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$.
Cette matrice $ \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ ayant deux valeurs propres réelles positives distinctes, a exactement 4 racines carrées réelles, qui ne sont pas très difficiles à calculer. On a donc 4 solutions pour l'équation proposée.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Rescassol j'ai essayé avec des matrices non carrées et je n'ai pas trouvé de contre exemple.
Julian
Une matrice (n,n) -
Oui. Donc la réponse que tu as donnée est fausse.
-
La réponse est $2$.
Mais je n'ai jamais entendu parler de l'inversibilité d'un vecteur ligne ou colonne. -
moi aussi.
-
Bd2017 je n'ai pas compris en quoi ça répond à la question de Noobey
-
Bonsoir,
Ben, ça montre deux matrices non inversibles, un ligne et une colonne, dont le produit est inversible.
Cordialement,
Rescassol -
Merci Rescassol.
J'avais fait 4-5 essais sur des matrices $(2,3)$ et $(3,2)$ ça donnait toujours une matrice non inversible. -
sage: var('a b c d') (a, b, c, d) sage: M = Matrix([[a,b],[c,d]]) sage: J = ones_matrix(2) sage: M, J ( [a b] [1 1] [c d], [1 1] ) sage: (M^2+M-J).list() [a^2 + b*c + a - 1, a*b + b*d + b - 1, a*c + c*d + c - 1, b*c + d^2 + d - 1] sage: [M.subs(D) for D in solve((M^2+M-J).list(),[a,b,c,d],solution_dict=1)] [ [0 1] [-3/2 -1/2] [-1 -1] [1/2 1/2] [1 0], [-1/2 -3/2], [-1 -1], [1/2 1/2] ] -
Bonsoir,
Soient $A=[1\space 1]$ et $B=A^t$.
$A$ et $B\space$ sont non inversibles.
$A\times B=[2]$ qui est inversible.
Cordialement,
Rescassol -
@Math Coss
Tu te fatigues pas toi :-D
@Rescassol
La matrice $A=(1 1)$ n'est pas inversible car elle n'est pas carrée ? -
Bonsoir,
Oui.
Cordialement,
Rescassol -
OS a écrit:@Math Coss
Tu te fatigues pas toi :-D
Il a fait l'effort de faire un programme pour répondre à la question. Ca s'appelle une démarche de recherche pour résoudre un problème. C'est exactement ce qu'on attend d'un matheux et exactement ce que tu n'as pas fait en tant qu'ex informaticien...
Cela dit, le vrai problème c'est que tu ne connaissais pas ton cours (définition de matrice inversible). Mais bon, je pourrais te le dire 100 fois que ça changerait rien. En prépa pour ma part, c'était 0 si cours pas su au mot près en interro de cours et pas la moyenne en colle si cours pas su même si l'exo se passait bien/très bien. -
Bonjour,
Quand on voit le petit test de Noobey, non seulement la réponse est instantanée, mais de plus, on se fait presque simultanément la réflexion "Tiens, c'est malin, ça, OShine ne va pas le voir, et il y en a pour des plombes".
Cordialement,
Rescassol -
Alexique c'était de l'ironie.
Je sais que Math Coss n'a pas besoin de logiciel pour résoudre un exercice de ce niveau.
Rescassol Noobey connait mes failles :-( -
La vérification de maths coss est utile car Elhor avait oublié 2 solutions par exemple.
-
Oshine, cela fait deux fois que tu accuses à tort Elhor d'avoir oublié des solutions... mais c'est toi qui n'a pas bien lu ce qu'il a écrit.
-
Oui Bisam tu as raison j'ai mal lu :-(
-
Merci bisam
Ce n'est pas grave O Shine
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Bonjour!
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