Matrice diagonale par blocs
Réponses
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Ce n'est pas que c'est faux, c'est que ça n'a aucun sens. $u$ n'est pas introduit, le "ainsi $G=\{0\}$" n'a rien à voir avec ce qui précède. Le plus grave c'est que tu ne t'en rendes pas compte de tout ça.
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...
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D'accord.
Soit $x$ un vecteur non nul de $E$. Si $\dim E=1$ alors $E=Vect(x)$.
Soit $u$ un endomorphisme de $E$. Alors $\forall y \in E \ \exists \lambda \in \K \ \ u(y)= \lambda y$
Donc $\{ u(y) \ \ u \in \mathcal L(E) \}= \{ \lambda y \ | \ \lambda \in \K \}$.
Si $\lambda \ne 0$ alors $u$ est bijectif et $u^{-1}(y)=\dfrac{1}{\lambda} y$. Si $\lambda=0$ alors $u$ n'est pas bijectif.
Donc $G= \{ 0 x \} = \{0 \}$ -
Erreur de quantificateur à la deuxième ligne, qui débouche sur une erreur de logique à la ligne suivante, puis à nouveau sur une erreur de quantificateur à la ligne d'après...
Bref, ce n'est toujours pas ça ! -
J'ai relu la définition d'un sous-espace vectoriel engendré et j'ai :
$Vect(x)= \{ \lambda x \ | \ \lambda \in \K \}= \{ y \in E \ \exists \lambda \in \K \ | \ y= \lambda x \}$
Je n'arrive jamais à savoir quelles sont mes erreurs de quantificateurs :-S
Soit $x \in E$ non nul.
Si $u$ est un endomorphisme de $E$ avec $\dim E=1$ alors $Im(u) \subset Vect(x)$.
Donc $u(x) \in Vect(x)$. Ainsi il existe $\lambda \in \K$ tel que $u(x)= \lambda x$
Je pense que jusqu'ici c'est correct.
C'est ici que je coince car dans $G=\{ u(x) \ | \ \text{u est un endomorphisme de E non bijectif} \}$ c'est le $u$ qui varie... -
C'est pas mal que tu t'en rendes compte, au bout d'une semaine sur cet exercice !
Puisque c'est $u$ qui varie, comme tu dis, peut-être qu'il serait intéressant de connaître TOUS les endomorphismes de $E$ non bijectifs lorsque $E$ est de dimension 1... Tu remarqueras qu'ils sont assez simples à caractériser, et tu devrais pouvoir conclure. -
D'accord merci.
Soit $E$ un $\K$ espace vectoriel de dimension $1$. Soit $u \in \mathcal L(E)$.
Alors $u : \K \longrightarrow \K \\ \ \ \ \ \ y \mapsto u(y)$
Soit $y \in E$. Alors $u(y)=y u(1)$. Ainsi, il existe $\lambda \in \K$ tel que $u(y)=\lambda y$.
Réciproquement, $\forall \lambda \in \K$, l'application $y \mapsto \lambda y$ est linéaire et c'est un endomorphisme de $E$.
Les endomorphismes en dimension $1$ sont les applications $\boxed{u : \K \longrightarrow \K \\ \ \ \ \ \ y \mapsto \lambda y \ \ \lambda \in \K}$
Or ces applications sont des automorphismes si et seulement si $\lambda \ne 0$.
Donc seule l'application nulle n'est pas bijective. On en déduit $G=\{ 0 \}$ -
C'est faux dès la deuxième ligne : si $u$ est une application de $E$ dans $E$, ce n'en est pas une de $\K$ dans $\K$.
Plus loin, $u(1)$ n'a donc aucun sens.
$\K$ est UN $\K$-espace vectoriel de dimension $1$, mais c'est loin d'être le seul ! -
Tu es sévère, c'est la troisième ligne.
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Avec le "D'accord merci" et le saut de ligne, c'est même la 5ème. A partir de la fin du message, on trouve $u : \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}$ à la 4ème ligne. Qui dit mieux ? :-D
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Je n'ai jamais compris qui est l'espace vectoriel de dimension $1$.
Ce n'est pas expliqué dans les livres. -
Un sous-espace vectoriel de dimension 1 de n'importe quel $\mathbf{K} $ espace vectoriel est un $\mathbf{K} $ espace vectoriel de dimension 1.
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Les espaces vectoriels de dimension $1$ sont les droites vectorielles. Elles sont engendrées par un vecteur non nul de $E$.
Si $x$ est un vecteur non nul de $E$, quelle est la différence entre $Vect(x)$ et $\K$ ? -
La même différence qu'entre la droite des réels et celle des imaginaires purs : ce sont deux droites... mais ce ne sont pas les mêmes. Elles sont isomorphes, mais pas identiques.
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D'accord. J'arrive à visualiser $Vect(x)$ avec un vecteur directeur de $x$.
Si $\K= \R$ alors $\K$ est la droite d'équation $y=0$.
Si $\K= \C$ alors $\K$ représente quoi ? -
Si $\K=\R$, ce n'est PAS la droite d'équation $y=0$, puisque celle-ci se balade dans $\R^2$ et que $\R$ n'est PAS un sous-espace vectoriel de $\R^2$.
En revanche, $\R\times \{0\}= \R\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}$ est la droite d'équation $y=0$ dans $\R^2$ et elle est de dimension $1$ donc isomorphe à $\R$.
Si $\K=\C$, $\K$ est un $\C$-espace vectoriel de dimension $1$, de vecteur directeur n'importe quel complexe non nul.
Plus généralement, pour tout corps $\K$, $\K$ est un $\K$-espace vectoriel de dimension $1$, de vecteur directeur n'importe quel élément non nul de l'ensemble $\K$. -
Un exemple peut-être plus parlant:
L'ensemble des suites constantes de ${\mathbf{K}} ^{\mathbf{N}} $, est un $\mathbf{K} $- espace vectoriel de dimension 1, pourtant il n'est clairement pas égal à $\mathbf{K} $ ses éléments sont des suites et non des scalaires...
Si ton application $u$ est définie sur des suites, ça n'a aucun sens de l'appliquer à des scalaires, c'est là ton erreur.
Isomorphe ne veut pas dire égal. -
@Bisam
Merci pour ces compléments.
En effet, $\R \times \{0 \}$ est un sous-espace de $\R^2$ mais pas $\R$ j'ai encore dit des bêtises.
@Bastien
Oui c'est vrai. Cet exemple des suites est très parlant.
Soit $x$ un vecteur non nul de $E$.
Les endomorphismes de dimension $1$ sont les applications $\begin{array}[t]{cccl}
u :& Vect(x)& \rightarrow &Vect(x) \\ & y &\mapsto &u(y)
\end{array}$
Mais je ne vois pas comment déterminer l'ensemble des $\{ u(x) \ | \ \text{ u endomorphisme de E non inversible} \}$ -
Il y a deux mois tu écrivais dans un autre fil :
OShine écrivait :
> Je ne sais pas ce que c'est qu'un endomorphisme en dimension $1$ justement.
Deux mois plus tard tu ne sais toujours pas ce que c'est un endomorphisme en dimension 1 visiblement. -
J'ai cru avoir compris alors que ce n'était pas le cas, ça arrive.
Du coup on a $Im(u) \subset Vect(x)$.
Donc l'image des endomorphismes de dimension $1$ est contenue dans $Vect(x)$. Pour tout élément de l'image $z$, il existe un scalaire $\lambda$ tel que $z=\lambda x$.
Donc en particulier $\exists \lambda \in \K , \ u(x)= \lambda x$.
Mais après je ne vois pas comment finir. -
Tu te focalises sur le formalisme, sans essayer de voir ce qui se passe.
Au lieu de penser à ce que peut être un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension $1$ (ce que, visiblement, tu ne visualises pas du tout), essaie de penser à ce que pourrait être sa matrice dans une base bien choisie.
J'espère vraiment que tu tireras quelque chose de cet exercice ! -
Soit $x$ un vecteur non nul de $E$.
Il existe $\lambda \in \K$ tel que $u(x)= \lambda x$.
Dans la base $(x)$ la matrice d'un endomorphisme de rang $1$ $u$ est $M=(\lambda)$
Or $\det(M)= \lambda$ donc $u$ est inversible si et seulement si $\lambda \ne 0$ c'est-à-dire si et seulement si $M \ne (0)$ -
Le déterminant pour montrer qu'une matrice de taille 1 est inversible 8-) il fallait y penser, reconnaissons lui ce mérite. Peu d'entre nous y auraient pensé, c'est bien ça la marque des génies !
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Oshine un peu hors sujet je ne comprends pas un truc
Je pose $M = \begin{pmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{pmatrix}$
Tu es d'accord que $\det(M) = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$ donc $M$ est inversible donc "bijective" donc "injective" puisqu'on est en dimension finie, bref ok.
Mais pourtant si je remplace $\theta$ par $0$ ou par $2\pi$ j'obtiens la même chose donc c'est plus injectif. ::o
Explique moi le problème... -
Moi je trouve la question de noobey très intéressante (noobey tu es diabolique). J'ai hâte de lire la réponse de Oshine...
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2 pi-périodicité...
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L'endomorphisme canoniquement associé à la matrice $M$ de rotation est bijectif.
C'est l'endomorphisme $ f : \R^2 \longrightarrow \R^2 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x,y) \mapsto (x \cos \theta - y \sin \theta ,x \sin \theta + y \cos \theta)$
L'application $g : \theta \mapsto \cos(\theta)$ n'est pas bijective sur $[0,2 \pi]$ car non injective : $\cos(0)=\cos(2 \pi)=1$
@Alexique
Autres méthodes :
$\ker(u)=\{0 \}$ si et seulement si $\lambda \ne 0$.
La matrice est de rang $1$ si et seulement si $\lambda \ne 0$. -
Autre méthode : une matrice de taille 1 est à diagonale strictement dominante ssi son coefficient est non nul, auquel cas elle est donc inversible par théorème de Hadamard...
Plus sérieusement ta réponse à la question de noobey ne me va pas. Pourquoi tu parles de la non injectivité du cosinus alors qu'on parle d'une matrice M ? Où est le lien logique qui permet de raccrocher ta phrase sur le sujet à un raisonnement logique pour répondre à noobey ? -
Je n'ai pas vraiment compris sa question, qui reste vague.
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C'était un piège qu'OShine a habilement évité.
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En fait tu as bien vu la chose OShine, je sais que tu comprends et que tu as évité le piège.
Mais il y a un petit truc qui ne va pas dans la rédaction. Ce n'est pas vraiment le fait que le cosinus ne soit pas injectif le problème.
Pour ne pas perdre trois jours encore je vends la mèche. Le problème c'est que l'application $\phi$ de $\R$ dans $M_{2}(\R)$ qui à $\theta$ associe $M_{\theta}$ n'est pas injective, avec $M_{\theta}$ la matrice de noobey.
Alors ça découle de la non injectivité du cosinus ou sinus, on est d'accord. Mais dit comme ça la rédaction ne me paraît pas suffisante. Il faut montrer au correcteur qu'on a bien compris qu'il y avait une application $\phi$ qui associe une matrice à un réel et que c'est elle qui n'est pas injective, bien que son image soit incluse dans $GL_{2}(\R)$.
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