Sous-espaces stables
Bonsoir,
Déterminer les sous-espaces stables par l'endomorphisme $u$ canoniquement associé à la matrice réelle :
$A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
Voici ce que j'ai fait.
On a $\boxed{\chi_A(X)=(X-1)^2 (X+1) \ \ \ E_1 = \R e_1 = \R \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \ E_{-1} = \R e_{-1} = \R \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}$
Premier cas : (ça je l'ai trouvé)
Si $F$ est de dimension $0$ ou $3$ alors $\boxed{F=\{0\}}$ ou $\boxed{F=\R^3}$
Deuxième cas : $F$ est de dimension $1$.
Une droite vectorielle est stable par $u$ si et seulement si elle est engendrée par un vecteur propre de $u$.
Donc $\boxed{F=\R e_1}$ ou $\boxed{F=\R e_{-1}}$
Troisième cas : $F$ est de dimension $2$.
Je n'ai pas réussi.
Déterminer les sous-espaces stables par l'endomorphisme $u$ canoniquement associé à la matrice réelle :
$A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
Voici ce que j'ai fait.
On a $\boxed{\chi_A(X)=(X-1)^2 (X+1) \ \ \ E_1 = \R e_1 = \R \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \ E_{-1} = \R e_{-1} = \R \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}$
Premier cas : (ça je l'ai trouvé)
Si $F$ est de dimension $0$ ou $3$ alors $\boxed{F=\{0\}}$ ou $\boxed{F=\R^3}$
Deuxième cas : $F$ est de dimension $1$.
Une droite vectorielle est stable par $u$ si et seulement si elle est engendrée par un vecteur propre de $u$.
Donc $\boxed{F=\R e_1}$ ou $\boxed{F=\R e_{-1}}$
Troisième cas : $F$ est de dimension $2$.
Je n'ai pas réussi.
Réponses
-
Il y a deux plans stables par $u$, $P_1:z=0$ et $P_2:2x-2y-z=0$.
-
$F$ est stable par $u$ ssi $F^\perp$ est stable par $u^t$
-
Kazeriam ça ne m'aide pas beaucoup étant donné que je n'ai jamais étudié ce résultat.
@Gai Requin il semble que tu trouves le même plan d'équation que le corrigé bravo.
Je n'avais regardé le corrigé jusque ici mais je viens de l'ouvrir. Je me permets de regarder car j'ai cherché au moins 45 min.
Si $F$ est de dimension $2$ alors le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit est un polynôme de degré deux divisant $\chi_A$.
Il vaut donc $\chi_A(X)=(X-1)^2$ ou $\chi_A(X)=(X-1)(X+1)$
Jusque là tout va bien.
Dans le premier cas, $F$ est contenu dans le noyau de $(A-I_3)^2$ qui est le plan d'équation $2x-2y-z=0$.
Je sais calculer $\ker (A-I_3)^2 =\{ X \in \R^3 \ | \ (A-I_3)^2 X =0 \}$
Je résous l'équation et je trouve le plan d'équation $\boxed{2x-2y-z=0}$
Mais je ne comprends pas pourquoi $F$ est contenu dans $\ker (A-I_3)^2$ :-S -
Il y a aussi $z=0$.
-
OShine écrivait :
> Mais je ne comprends pas pourquoi $F$ est contenu dans $\ker (A-I_3)^2$ :-S
Quel est le polynôme caractéristique de l'endomorphisme $A_F$ induit par $A$ sur $F$ ? Peux-tu en déduire un polynôme annulateur de $A_F$ ? -
La matrice de $f$ n'est pas diagonalisable, mais comme son polynôme caractéristique se factorise sur $\mathbb{R}$, elle est trigonalisable ce qui prouve qu'elle admet un plan stable, le plan engendré par les deux premiers vecteurs d'une base de trigonalisation. Par ailleurs, on a $\ker(A-I) \subset \ker(A-I)^2$. Il faut juste montrer que $\ker(A-I)^2$ soit stable par $A$, et aussi que ce soit un plan.
L'inclusion que tu demandes, se montre en utilisant le théorème de Cayley-Hamilton et la notion d’endomorphisme induit.
Il y a aussi une autre manière de déterminer les plans stables par $f$.
Soit $H$ un hyperplan de $E$ tel que pour $u=(a_{1},\ldots,a_{n})$ non nul, $a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n}=0$.
$H$ est stable si et seulement si $(a_{1},\ldots,a_{n})^{T}$ est vecteur propre de $A^{T}$. -
@Gai Requin
Je passerai au deuxième sous-espace stable après.
@Gon
@Kazeriahm
Je ne connais pas ce théorème avec les hyperplans.
Je ne connais pas non plus le résultat sur les plans stables via la trigonalisation.
Ce ne sont pas des propriétés au programme de MP.
Le fait que $ \ker(A-I_3)^2$ ne me pose pas de problème, ce n'est qu'un simple calcul.
Si l'endomorphisme induit $\chi_F(X)=(X-1)^2$ alors d'après Cayley-Hamilton $(A-I_3)^2=0$.
Je ne vois pas comment en déduire $X \in F \implies X \in \ker(A-I_3)^2$
Quel est le lien entre $F$ et $(A-I_3)^2=0$ ? -
Je ne comprends pas comment montrer cette inclusion alors qu'on ne connaît pas F.
-
OShine a écrit:Si l'endomorphisme induit $\chi_F(X)=(X-1)^2$ alors d'après Cayley-Hamilton $(A-I_3)^2=0$.
Je ne vois pas comment en déduire $X \in F \implies X \in \ker(A-I_3)^2$
Quel est le lien entre $F$ et $(A-I_3)^2=0$ ?
Mauvais choix de notation, de noter $X$ à la fois l’indéterminée de ton polynôme et un vecteur de $F$, c'est clair pour toi ?
Si $x\in F$, que peux-tu dire de $(A-I)^2(x)$ ? -
Merci je viens de comprendre, quand on calcule $u(x)$ avec $u$ endomorphisme canoniquement associé à une matrice $A$, il y a analogie avec calculer $AX$.
Oui je dois faire attention entre le $X$ du polynôme et un vecteur $X$ de $\R^3$.
Comme on prend le polynôme d'endomorphisme induit sur $F$, on a $X \in \R^{3} \cap F=F$
Donc $\forall X \in F \ \ (A-I_3)^2X=0$ ainsi $X \in \ker(A-I_3)^2$. D'où l'inclusion $F \subset \ker(A-I_3)^2$
Mais $\dim F=\dim \ker(A-I_3)^2$ donc l'inclusion devient une égalité et on a $\boxed{F=\ker(A-I_3)^2 = \{ X=(x \ y \ z )^T \ | \ 2x-2y-z=0 \} }$
Je vais essayer de faire le dernier cas $\chi_F(X)=(X-1)(X+1)$ et voir si je trouve comme Gai Requin. -
Dernier cas :
$\chi_F(A)=(A-I_3)(A+I_3)=0$. Donc $\forall X \in F \ \ (A-I_3) (A+I_3) X=0$
Après je ne comprends pas la suite :
i) $F$ contient un vecteur propre associé à $1$ et un vecteur propre associé à $-1$...
ii) Il est donc égal à $\R e_1 \oplus \R e_{-1}$ -
C'est du cours !
-
Je n'aurais pas dit mieux que kazeriahm...
Les racines du polynôme caractéristique d'un endomorphisme sont... Ensuite, tu disposes de deux sous-espaces vectoriels de dimension $1$, en somme directe, dans un plan (i.e. un espace vectoriel de dimension $2$)... -
Ok pour le point $ii)$ le cours dit que comme $1$ et $-1$ sont des valeurs propres distinctes alors $F=E_{1} \oplus E_{-1}$. Après avoir fait un dessin c'est le plan d'équation $z=0$ donné par @Gai Requin.
Mais le point $i)$ je ne trouve pas.
Pourquoi $E_{1}, E_{-1} \subset F$ ?
Si $X \in E_{1}$ alors $AX=X$ et si $X \in E_{-1}$ alors $AX=-X$. Je n'arrive pas à montrer que $X \in F$. -
Ah je suis bête je pense avoir compris.
$E_{1}$ est un vecteur propre de la restriction de $E$ à $F$ donc il appartient à $F$. Idem pour $E_{-1}$
Or $E_{1}$ et $E_{-1}$ sont en somme directe donc $E_1 \oplus E_{-1} \subset F$.
Mais $F$ est de dimension $2$ et $E_1 \oplus E_{-1} \in F$ aussi par définition d'une somme directe donc $E_1 \oplus E_{-1} \in F$ -
Un kit de survie (mode rambo =on) en logique et théorie ensembliste de base me semble nécessaire pour toi.
-
Bonjour,
Donc $F\in F$, c'est beau, ça ...
Cordialement,
Rescassol -
Oui Rescassol bien vu c'est une erreur de frappe. Je la corrige.
-
@Os ce n'est pas une erreur de frappe c'est le message 7402 complet à supprimer. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2232740,2233950#msg-2233950
-
Dans le second cas, puisque le polynôme caractéristique de l'endomorphisme $u$ induit par $A$ sur $F$ vaut $(X-1)(X+1)$, on en déduit que $1$ et $-1$ sont toutes les deux valeurs propres de $u$.
Comme un vecteur propre de $u$ n'est rien d'autre qu'un vecteur propre de $A$ qui est en plus dans $F$, et que les vecteurs $e_1$ et $e_{-1}$ dirigent les sous-espaces propres de $A$ associés aux valeurs propres $1$ et $-1$, on en déduit que les sous espaces propres de $u$ associés à $1$ et à $-1$ ne peuvent être que $\R e_1$ et $\R e_{-1}$.
En particulier, on en déduit que $\R e_1+\R e_{-1}\subset F$.
Or ces deux droites sont en somme directe et $F$ est supposé être de dimension $2$ donc, par égalité de dimension, on en déduit que $F=\R e_1 \oplus \R e_{-1}$.
Voilà tout ce que l'on peut dire.
Et je confirme, tout cela n'est que du cours... mais il faut avoir compris ce qu'est un endomorphisme induit. -
D'accord merci.
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