Idéal premier
dans Algèbre
Bonjour
Vers la fin de la preuve, comment est-ce qu'on obtient $x+b \notin \mathfrak{p}_1\cup \cdots{} \cup \mathfrak{p}_{r-1},\ x+b\in \mathfrak{p}_r$ et $\ b\in \mathfrak{p}_r$ ?
Je suppose qu'on utilise $b\notin \mathfrak{p}_1\cup \cdots{} \cup \mathfrak{p}_{r-1}$.
Merci d'avance.
Vers la fin de la preuve, comment est-ce qu'on obtient $x+b \notin \mathfrak{p}_1\cup \cdots{} \cup \mathfrak{p}_{r-1},\ x+b\in \mathfrak{p}_r$ et $\ b\in \mathfrak{p}_r$ ?
Je suppose qu'on utilise $b\notin \mathfrak{p}_1\cup \cdots{} \cup \mathfrak{p}_{r-1}$.
Merci d'avance.
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Réponses
2) À partir de là étant donné que $x+b\in \mathfrak{p}_1\cup \cdots{} \cup \mathfrak{p}_{r}$ il est évident que $x+b\in \mathfrak{p}_r$.
3) $b\in \mathfrak{p}_r$ est également évident étant donné que $b\in \mathfrak{p}_1\cup \cdots \cup \mathfrak{p}_{r}$ et $b\notin \mathfrak{p}_1\cup \cdots{} \cup \mathfrak{p}_{r-1}$
Supposons que $x+b\in \mathfrak{p}_1\cup \cdots{} \cup \mathfrak{p}_{r-1}$. On a $x\in \mathfrak{p}_1\cap \cdots{} \cap \mathfrak{p}_{r-1}$ donc $-x \in \mathfrak{p}_1\cap \cdots{} \cap \mathfrak{p}_{r-1}$ donc $-x \in \mathfrak{p}_1\cup \cdots{} \cup \mathfrak{p}_{r-1}$. Mais $ \mathfrak{p}_1\cup \cdots{} \cup \mathfrak{p}_{r-1}$ n'est pas nécessairement un idéal, qu'est-ce qui nous dit que $(x+b)-x \in \mathfrak{p}_1\cup \cdots{} \cup \mathfrak{p}_{r-1}$ ? Si j'ai bien compris il faudrait montrer que $\mathfrak{p}_1\cup \cdots{} \cup \mathfrak{p}_{r-1}$ est stable par $+$.
Je te signale deux aspects :
Aspect1 (ce n'est pas mon habitude), sur le fond, ce qui t'est demandé, c'est de prouver la chose suivante:
Si J est un idéal de l'anneau $A_1\times ... \times A_n$, où chaque $A_i$ est intègre, alors ou bien il existe un $i$ tels que tous les uplets éléments de $J$ ont un $0$ à la coordonnée $i$, ou bien il existe dans $J$ un élément qui n'a de $0$ sur aucune de ses coordonnées. Cela te permet de "jouer" à un "jeu pour enfants" que tu gagneras assez vite.
Aspect2:soit $J$ un idéal et des idéaux premiers $P_1\dots P_n$. Si pour chaque $i$, il existe un élément $u_i$ de $J$ tel que $u_i$ est dans tous les $P_j$, avec $j\neq i$, mais pas dans $P_i$, alors $\sum_i u_i$ est un élément de $J$ qui n'appartient à aucun $P_i$.
L'éventuelle impossibilité d'avoir $u_4$, par exemple, fait que $P_1\cap P_2\cap P_3\cap P_5\dots$ est inclus dans $P_4$. Pour une raison ultraclassique, ça force l'un des $P_i$ tel que $i\neq 4$ à vérifier $P_i\supset P_4$ et tu peux virer $P_4$. En recommençant, tu épuises le processus.