Idéal principal dans anneau principal

Désolée, ce n'est pas $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ qui est principal, mais $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{5}}{2}]$. Donc même question.

Merci, je m'étais rendue compte entre-temps. Je reviens donc à la question initiale : comment savoir si $(2)+(1+\sqrt{5})$ est principal dans $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$, et si oui, quel est l'élément qui l'engendre ?

Autre question : est-il maximal dans cet anneau ?

Je reproduis ici la réponse en MP : $I=(2)+(1+\sqrt{5}) = \{x+y \sqrt{5}, x, y \in \mathbb{Z}, x \equiv y \mod 2 \}$.

Donc $ \lvert { \mathbb{Z}[\sqrt{5}) / I } \rvert =2$, d'où $I$ est maximal.

D'autre part, comme $2$ et $1+\sqrt{5}$ sont irréductibles, leurs seuls diviseurs communs sont les inversibles. On en déduit que $I$ n'est pas principal.

Donc $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ n'est pas principal. Au passage, cela fournit un contre-exemple au théorème de Bézout dans un anneau non principal : $(2)$ et $(1+\sqrt{5})$ sont premiers entre eux, or on a $(2)+(1+\sqrt{5}) \ne (1)$.

Enfin, si $4$ et $2+2\sqrt{5}$ ont un pgcd $d$, alors $2 \mid d \Rightarrow d = 2 u \mid 4$ et $2+2\sqrt{5}$, donc $u \mid 2$ et $1+\sqrt{5}$, donc $u$ est inversible ; de même $1+\sqrt{5} \mid d \Rightarrow d = (1+\sqrt{5}) v$, et $v$ est inversible, donc $2u=(1+\sqrt{5})v$, ce qui est impossible car $2$ et $1+\sqrt{5}$ ne sont pas associés.

Je me rends compte que j'ai fait toute la théorie des anneaux (deux fois), sans jamais voir un seul exemple issu des corps de nombres et des ordres. C'est chaud !