Théorème de Gauss-Wantzel

Chronixal · April 2021

Bonsoir,

Rédigeant actuellement un mémoire concernant le théorème mentionné dans le titre concernant la constructibilité des polygones, je me demandais si il existait des corollaires ou des extensions à ce prodigieux résultat ? J'aimerais aller plus loin dans mes réflexions.

Aussi, existe-t-il des problèmes ouverts concernant les nombres constructibles ? Je suis curieux et je fais appel à votre culture plus étendue que la mienne.

Merci d'avance pour vos réponses.

Ludwig · April 2021

Voir peut-être du côté de la division de la lemniscate de Bernoulli.

MrJ · May 2021

Les deux corollaires classiques (que je connais) sont
- la quadrature du cercle (mais il faut la transcendance de $\pi$ en plus);
- l’impossibilité de la trisection de l’angle avec la règle et le compas.

Après, il me semble qu’il y a des études de ce type de problème géométrique un peu moins connus où l’on autorise d'autres outils.

Chronixal · May 2021

D'accord merci pour vos réponses, je vais jeter un oeil à tout cela.

Fin de partie · May 2021

Chronixal a écrit:

Aussi, existe-t-il des problèmes ouverts concernant les nombres constructibles ?

Wikipedia a écrit:

Le théorème de Wantzel, énoncé par Pierre-Laurent Wantzel en 1837, précise les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un nombre soit constructible.

PS:
Tous les nombres qu'on soupçonne d'être transcendants ($\zeta(3)$ par exemple) ne seraient donc pas constructibles.
(Pour qu'un nombre soit constructible il faut nécessairement qu'il soit algébrique sur $\mathbb{Q}$ même si ce n'est pas une condition suffisante)

Théorème de Gauss-Wantzel

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