Anneaux - idéaux premiers

2) (j'imagine que tu veux dire "idéaux premiers non nuls et non maximaux")
$\Z [X]$ est un exemple typique, un autre exemple (du même type) est $k[x_1,...,x_n]$ lorsque $n\geq 2$

Un exemple plus géométrique peut-être, $\R[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2-1)$
(Tu verras dans ma réponse à 3) pourquoi je parle de géométrie)

3) Dans un anneau, on définit la dimension de Krull comme étant la borne sup des $n$ tels qu'il existe une chaîne d'inclusioms strictes $p_n< ...< p_0$ d'idéaux premiers.
Un corps est de dimension de Krull $0$, un anneau principal qui n'est pas un corps de dimension $1$.

Si je rèponds à ta question littéralement, je vais donc dire "de dimension $0$". Mais je pense que tu voulais aussi prendre en compte $0$, dans ce cas ce sera "intègre de dimension $\leq 1$".

(À noter que cette dimension est aussi celle de $Spec(A)$, qui est souvent la "dimension intuitive" lorsque $A$ est l'anneau de polynômes sur une variété - bon, je ne connais pas le théorème précis, mais c'est l'idée)

Les anneaux commutatifs intègres dont tout idéal se factorise en produit fini d'idéaux premiers sont précisément les anneaux de Dedekind (c'est une caractérisation peu connue de ces derniers). À noter qu'en jouant un peu avec les définitions, cette factorisation est nécessairement unique. C'est peut-être ce à quoi tu pensais pour 1), n'est-ce pas?

Pour une référence, je t'invite à consulter Commutative Algebra de Zariski et Samuel, chapitre V, paragraphe 6: c'est la définition qu'ils donnent d'un anneau de Dedekind et ils montrent toutes les équivalences avec les définitions "usuelles".

1) La réponse me semble évidente, non ? :-D Tu peux par exemple te convaincre que $\mathbb Z[X]$ n’est pas de Dedekind, en répondant à ta question 2).

2) Cherche un quotient intègre de $\mathbb Z[X]$ qui n’est pas un corps. Indice : il y a écrit $\mathbb Z$. :-D

3) Les idéaux premiers non nuls. Oui c’est la même chose que de dimension 1.

4) J’avais enregistré une image trouvée sur le forum il y a quelques années, je peux partager ça ce soir. Sache que les propriétés usuelles dont on parle ne sont pas totalement ordonnées pour l’inclusion.

L'image promise. Les anneaux de Dedekind ne sont pas représentés mais ils sont à l'intersection des anneaux noethériens et des anneaux intégralement clos (ils ne coïncident pas avec cette intersection).

Les anneaux principaux (qui ne sont pas des corps) sont de dimension 1, donc toute chaine d'ideaux premiers est de la forme $(0)\subsetneq (p)$.
Cela vaut également pour les anneaux de Dedekind, qui sont localement principaux (à ceci près qu'on a donc $(0)\subsetneq (a,b)$ pour $a$ et $b$ deux éléments possiblement associés).

Si $R$ est noethérien alors la dimension de $R[T_1,\ldots,T_n]$ est exactement $n+\dim(R)$, une inégalité est totalement triviale (et vrai sans caractère noethérien), l'autre pas si évidente.

Sur $k=\mathbb{C}$, si l'on prend un idéal $I=(f_1,\ldots,f_p)$ de $k[T_1,\ldots,T_n]$ donnant un quotient intègre (en fait on peut s'affranchir de cette hypothèse), alors $k[T_1,\ldots,T_n]/I$ est de dimension égal à la moitié de la dimension de la variété différentielle donnée par l'ensemble des points réguliers de $\{x\in \mathbb{C}^n\mid f_1(x)=\cdots=f_p(x)=0\}$ autrement dit la dimension complexe de l'espace tangent de la variété ce qui est à quoi on s'attend. C'est aussi la dimension en l'espace cotangent algébrique i.e la dimension de $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ sur $k$ (que $k$ soit $\mathbb{C}$ ou juste un corps).

Si les générateurs sont choisis minimaux alors cette dimension vaut au moins $n-p$ et quitte à localiser et à re-choisir les générateurs exactement $n-p$ (là aussi que $k$ soit $\mathbb{C}$ ou juste un corps). L'inégalité peut être stricte.

Ce qui permet de construire pleins d'exemples d'anneaux avec des chaînes d'ideaux premiers un peu comme on veut.

Si on remplace $k$ par $\mathbb{Z}$ ou un anneau de Dedekind alors on peut étendre (avec des modifications) ces résultats en localisant.

Mais les résultats tels que ne se généralisent pas, exemple tarte à la creme, $(pT-1)$ est maximal dans $\mathbb{Z}_p[T]$ qui est de dimension 2.