Division euclidienne de polynômes

DrFalls · May 2021

Bonjour,

J'ai un exercice dans lequel il semblerait qu'on doive utiliser une division euclidienne.

Soit $P(x)=x^4+3x^3+2x^2-1=(x^2+x+1)R(x)$

On doit trouver $R(x)$ mais en passant par une division euclidienne je tombe sur un reste non nul égal à $x$. Y a-t-il une erreur dans l'exercice ou bien c'est moi qui ne voit pas l'astuce ? Mes collègues n'y arrivent pas non plus.
Manu.

Poirot · May 2021

De tête, on a $P(j) = -j \neq 0$, où $j=e^{2i\pi/3}$ donc $X^2+X+1$ ne divise pas $P$.

AD · May 2021

Avec WIMS https://wims.univ-cotedazur.fr/~wims/wims.cgi?session=0TF12ACF94.3&lang=fr&cmd=reply&module=tool/arithmetic/bezout.fr&x1=x^4+3*x^3+2*x^2-1&x2=x^2+x+1&gcdlcm=yes&eucdiv=yes&euc1=1&euc2=2 121360

DrFalls · May 2021

Merci pour vos réponses, si je comprends bien la partie réalisée avec WIMS et le précédent message, il n'est pas possible de trouver R(x) sous une forme factorisée sans passer par les nombres complexes ?

gerard0 · May 2021

Heu ... le quotient (non exact) R(x) a deux racines réelles et se factorise très bien sans les complexes (programme de première).

Poirot a utilisé les complexes pour montrer que l'énoncé est faux.

Cordialement.

bisam · May 2021

Comme déjà dit, mais pas forcément de façon très claire : l'énoncé est faux.
Pour être encore plus explicite : le polynôme $P(X)$ n'est pas divisible par le polynôme $X^2+X+1$.

Division euclidienne de polynômes

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