Automorphismes de Frobenius

1) Non. C’est toujours un endomorphisme (automatiquement injectif) de corps, mais il n’y a pas toujours surjectivité. Ils sont surjectifs précisément quand le corps est parfait. Contre-exemple : $X$ n’est pas une puissance $p$-ième dans $\mathbb F_p(X)$.

2) Non. Sur portable c’est un peu long de détailler, mais prend une extension quadratique de $\mathbb F_{p^2}$. Alors $x \mapsto x^p$ n’envoie pas forcément une racine de $f$ sur une racine de $f$. Par contre $x \mapsto x^{p^2}$ oui.

Oui, dans le cas fini un endomorphisme de corps est automatiquement un automorphisme pour les raisons que tu évoques.

Pour la seconde assertion, si on note $|K| = p^m$ alors c'est vrai pour tout $n$ multiple de $m$.

Tout à fait. (tu) Bon ensuite tout dépend de ce que tu entends par "permute". Si tu veux une action transitive, il faut supposer $f$ irréductible.

Oui. La famille $\{x \mapsto x^{p^n} \mid n \in \mathbb N\}$ est en fait finie, et il s'agit du groupe de Galois, cyclique, de $L/K$.

Pas sûr de savoir de quelle notion de "groupe de Frobenius" tu parles.

En ce qui concerne les références pour les groupes de Galois d'extensions de corps finis, c'est fait dans n'importe quel cours de théorie de Galois. J'aime beaucoup l'Algèbre corporelle d'Antoine Chambert-Loir (page 66 pour les corps finis), et l'Introduction à la théorie de Galois d'Yves Laszlo (page 31 pour les corps finis).