Automorphismes de Frobenius
dans Algèbre
Ces deux affirmations sont-elles vraies :
1) $\forall n \in \mathbb{N}$, l'application $x \mapsto x^{p^n}$ est un automorphisme de tout corps de caractéristique $p >0$,
2) soit $K$ un corps fini de caractéristique $p >0$, $L/K$ une extension finie, $f \in K[X]$, et $x \in L$ une racine de $f$ ; alors $\forall n \in \mathbb{N}$, l'automorphisme de Frobenius $x \mapsto x^{p^n}$ défini sur $L$ permute les racines de $f$ ?
Merci d'avance.
1) $\forall n \in \mathbb{N}$, l'application $x \mapsto x^{p^n}$ est un automorphisme de tout corps de caractéristique $p >0$,
2) soit $K$ un corps fini de caractéristique $p >0$, $L/K$ une extension finie, $f \in K[X]$, et $x \in L$ une racine de $f$ ; alors $\forall n \in \mathbb{N}$, l'automorphisme de Frobenius $x \mapsto x^{p^n}$ défini sur $L$ permute les racines de $f$ ?
Merci d'avance.
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Réponses
2) Non. Sur portable c’est un peu long de détailler, mais prend une extension quadratique de $\mathbb F_{p^2}$. Alors $x \mapsto x^p$ n’envoie pas forcément une racine de $f$ sur une racine de $f$. Par contre $x \mapsto x^{p^2}$ oui.
1) je rectifie : je voulais parler de tout corps fini de caractéristique $p >0$, est-ce vrai dans ce cas, car il y a injectivité, donc surjectivité ?
2) merci beaucoup. ok, je comprends ; que faut-il alors ajouter à l'affirmation pour qu'elle soit vraie ?
Merci d'avance.
Pour la seconde assertion, si on note $|K| = p^m$ alors c'est vrai pour tout $n$ multiple de $m$.
En effet, pour $f= \sum a_n X^n \in \mathbb{F}_{p^2}$, et $x \in \mathbb{F}_{p^{2k}}$ une racine de $f$, l'automorphisme $x \mapsto x^p$ n'envoie pas forcément une racine de $f$ sur une racine de $f$ (le problème est qu'on n'a pas forcément $a_n^p=a_n$), tandis que l'automorphisme $x \mapsto x^{p^2}$, si (parce qu'on $a_n^{p^2}=a_n$), et permute les racines de $f$, même si $f$ n'est pas irréductible ?
Merci énormément.
En ce qui concerne les références pour les groupes de Galois d'extensions de corps finis, c'est fait dans n'importe quel cours de théorie de Galois. J'aime beaucoup l'Algèbre corporelle d'Antoine Chambert-Loir (page 66 pour les corps finis), et l'Introduction à la théorie de Galois d'Yves Laszlo (page 31 pour les corps finis).