Corps fini
$\newcommand{\F}{\mathbb{F}}$Bonjour
Voici une question d'un exo.
Soit $\K$ un corps fini.
En considérant la structure de $\F_{p}$-espace vectoriel de $\K$, montrer que le nombre d’éléments de $\K$ est égal à $p^{n},\ n \in\mathbb{N},\ n \geq 1$.
Voici sa solution.
On considère l’application (loi scalaire) : $\begin{array}[t]{ccl}
\F_{p} \times \K &\rightarrow &\K\\
(\overline{a},x)& \mapsto& \overline{a}x.
\end{array}$
Alors $\K$ est canoniquement un $\F_{p}$-espace vectoriel. Puisque $\K$ possède un nombre fini d’éléments, $\K$ est un espace vectoriel de dimension finie sur $\F_{p}$ ; donc il existe un entier $n \geq 1$ tel que $\K$ soit isomorphe en tant que $\F_{p}$-espace vectoriel à ($\F_{p})^{n}$ ; donc $|\K| = p^{n}$.
J'ai deux questions.
1) Je n'arrive pas à comprendre pourquoi $\K$ est un $\F_{p}$-espace vectoriel.
2) Pourquoi $\K$ est isomorphe en tant que $\F_{p}$-espace vectoriel à $(\F_{p})^{n}$ ?
Merci d'avance.
Voici une question d'un exo.
Soit $\K$ un corps fini.
En considérant la structure de $\F_{p}$-espace vectoriel de $\K$, montrer que le nombre d’éléments de $\K$ est égal à $p^{n},\ n \in\mathbb{N},\ n \geq 1$.
Voici sa solution.
On considère l’application (loi scalaire) : $\begin{array}[t]{ccl}
\F_{p} \times \K &\rightarrow &\K\\
(\overline{a},x)& \mapsto& \overline{a}x.
\end{array}$
Alors $\K$ est canoniquement un $\F_{p}$-espace vectoriel. Puisque $\K$ possède un nombre fini d’éléments, $\K$ est un espace vectoriel de dimension finie sur $\F_{p}$ ; donc il existe un entier $n \geq 1$ tel que $\K$ soit isomorphe en tant que $\F_{p}$-espace vectoriel à ($\F_{p})^{n}$ ; donc $|\K| = p^{n}$.
J'ai deux questions.
1) Je n'arrive pas à comprendre pourquoi $\K$ est un $\F_{p}$-espace vectoriel.
2) Pourquoi $\K$ est isomorphe en tant que $\F_{p}$-espace vectoriel à $(\F_{p})^{n}$ ?
Merci d'avance.
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Réponses
2) Il suffit de se rappeler ce que veut dire être de dimension finie sur un corps $k$.
Edit : ah, et on peut dire une chose importante sur p qui ne figure pas dans l'énoncé
2) Il suffit de se rappeler que tout espace vectoriel (qui admet une famille génératrice finie) admet une base.
Théorème. Dans un espace vectoriel $E$ sur $\mathbb{K}$ de dimension finie, toutes les bases ont le même nombre d'éléments. Ce nombre est appelé dimension de $E$ sur $\mathbb{K}$ et est noté $\dim_{K}E$.
Du coup je ne pense pas avoir la bonne définition de dimension sur un corps $\mathbb{K}$.