Matrices et base canonique de Mn(K)
dans Algèbre
Bonjour.
J'ai un doute sur l'exercice suivant.
Démontrer que pour toute application linéaire $f$ de $M_n(K)$ dans $K$, il existe une unique matrice $A$ telle que $\forall X \in M_n(K),\ f(X)=Tr(AX)$.
Voici ce que j'ai essayé.
Posons $g_A=Tr(AX)$. Il est clair que $g_A$ est un morphisme.
Soit $\phi : M_n(K) \rightarrow L(M_n(K),K),\ A \mapsto g_A$.
$\phi$ est clairement linéaire et la dimension de son ensemble de départ et d'arrivée est la même.
Montrons que $\phi$ est injective.
Supposons $\phi(A)=0$, c'est-à-dire que $\forall X,\ g_A(X)=Tr(AX)=0$.
En appliquant ceci à $X=E_{p,q}$, on obtient assez rapidement que $A$ est la matrice nulle (je passe le détail).
Donc $\phi$ est un isomorphisme. Donc $\forall f$ de $M_n(K)$ dans $K$, il existe une unique matrice $A$ telle que $g_A=f$, ie telle que $\forall X, \ Tr(AX)=f(X)$.
Qu'en pensez-vous ? J'ai l'impression que ce n'est pas bon.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Je vous remercie.
J'ai un doute sur l'exercice suivant.
Démontrer que pour toute application linéaire $f$ de $M_n(K)$ dans $K$, il existe une unique matrice $A$ telle que $\forall X \in M_n(K),\ f(X)=Tr(AX)$.
Voici ce que j'ai essayé.
Posons $g_A=Tr(AX)$. Il est clair que $g_A$ est un morphisme.
Soit $\phi : M_n(K) \rightarrow L(M_n(K),K),\ A \mapsto g_A$.
$\phi$ est clairement linéaire et la dimension de son ensemble de départ et d'arrivée est la même.
Montrons que $\phi$ est injective.
Supposons $\phi(A)=0$, c'est-à-dire que $\forall X,\ g_A(X)=Tr(AX)=0$.
En appliquant ceci à $X=E_{p,q}$, on obtient assez rapidement que $A$ est la matrice nulle (je passe le détail).
Donc $\phi$ est un isomorphisme. Donc $\forall f$ de $M_n(K)$ dans $K$, il existe une unique matrice $A$ telle que $g_A=f$, ie telle que $\forall X, \ Tr(AX)=f(X)$.
Qu'en pensez-vous ? J'ai l'impression que ce n'est pas bon.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Je vous remercie.
Réponses
-
Bonjour Tony et bienvenue.
Qu'est-ce qui ne te plait pas ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Ça me semble parfait sur le principe.Qu'en pensez-vous ?
J'aimerais bien en savoir plus sur :on obtient assez rapidement que A est la matrice nulle (je passe le détail). -
Merci de me souhaiter la bienvenue.
Il n'y a rien qui ne me plaît pas dans la résolution que je propose.
Seulement j'ai juste peur qu'elle ne soit pas bonne. Je me fais sûrement du souci pour rien ? Est-ce bon ? -
De tête je dirais que si l'on pose $C=AE_{p,q}$, $(c_{i,j})=C$, alors pour $i=0,...,n$,
$c_{i,i}=0$ si $i \neq q$ et $a_{p,q}$ sinon. Donc le terme $a_{p,q}$ est nul. Donc A=0 -
Bonjour
Ta démonstration me semble correcte et tu maîtrises la notion d'ev en dim finie.
Par contre il peut être intéressant d'en dire plus.
Si tu considères la base canonique de $M_n(\K)$ c'est-à-dire la base $(E_{ij}), i,j =1,\ldots,n$ ($E_{ij}$ matrices élémentaires).
Puisque $ f$ est complètement déterminée par les images $f(E_ {ij}))=u_{ij},$ quelle est la matrice $A$ en fonction de ces coeff $u_{ij}\ ?$ -
En regardant comme ceci,
je dirais que $a_{i,j}=u_{j,i}$ ? D'ailleurs je me suis trompé dans mon message précédent, il me semble que j'ai oublié d'inverser p et q... -
Oui c'est ça.
-
Merci à tous.
Bonne journée. -
Je crois que $tr(AB) = \sum_{i,j} a_{ij}b_{ji}$.
-
Je me fais sûrement du souci pour rien ? Est-ce bon ?
Si TOI tu n'es pas content, c'est que ce n'est pas bon, au sens où tu as peut-être sauté des étapes dont tu n'étais pas convaincu.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonjour,
Il y a quand même des problèmes de notation dans le premier message, notamment $g_A=Tr(AX)$ et $\forall f \in M_n(K)$. -
@marsup, oui, en écrivant tout, on obtient :
$ f(M) = f(\sum M(i,j)E_(i,j)) = $
$\sum M(i,j) \times f(E(i,j)) = $
$\sum_i [\sum_j \ M(i,j) \times f(E(i,j))] = tr(M\circ
$
avec $\forall i,j: B(i,j) := f(E(j,i))$.
La définition de $(X\circ Y)(i,j)$ étant $\sum_k\ X(i,k)Y(k,j)$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Sauf erreur, dans le premier message, même si ici c'est évident, tu oublies d'expliciter un argument important pour conclure que $\phi$ est un isomorphisme. Tu dis que comme $\phi$ est linéaire, injective et que les espaces de départ et d'arrivée sont de dimensions égales, alors $\phi$ est un isomorphisme.
Or $P\in\R[X]\mapsto XP\in\R[X]$ est également linéaire, injective avec les espaces de départ et d'arrivée de dimensions égales. Mais elle n'est pas surjective, par exemple parce que $X$ ne divise pas $1$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 5
+2 Invités