Caractéristique anneau quotient

Topalg: Ta question n'a pas une réponse simple. Si l'idéal par lequel tu quotientes est principal et qu'un générateur est $a$ alors travailler dans l'anneau quotient $A/aA$ revient à considérer que toute expression polynomiale dans $A$ (c'est à dire à coefficients dans $A$) en $a$ vaut $0$ dans l'anneau quotient.

PS:
Je parle de polynômes sans terme constant.

Par exemple: $2=(1-i)(1+i)$ est un polynôme à coefficients dans l'anneau des entiers de Gauss en $1+i$ (ou en $1-i$)

Topalg: sans blagues? C'est la même "règle" quand on fait de "bêtes" congruences dans $\mathbb{Z}$.

Dans $\mathbb{Z}$ si on a une expression comme $A=c+b_1a+b_2a^2+b_3a^3+\cdots+b_na^n$

Il est clair que $A\equiv c\mod{a}$ car on peut factoriser dans $b_1a+b_2a^2+b_3a^3+\cdots+b_na^n$ , $a$ (et l'autre facteur peut être éventuellement égal à $0$ si tous les $b_i$ sont nuls).

Lorsqu'on manipule des idéaux principaux d'un anneau $A$ c'est-à-dire des ensembles de la forme $aA$ pour $a$ un élément de $A$ on a cette règle simple. Dans $\mathbb{Z}$ tous les idéaux sont principaux.

$u$ et $v$ sont congrus modulo $aA$ si et seulement il existe $b$ de $A$ tel que $u-v=ab$.

La définition de base est $u$ et $v$ sont congrus si et seulement si $u-v$ appartient à l'idéal $aA$.

Je pense qu'il faut bien avoir compris les congruences dans $\mathbb{Z}$ pour considérer des anneaux quotients d'anneaux plus compliqués que $\mathbb{Z}$

N'est-il pas clair pour toi que $\bar 2 = \bar 0$ puisque $2-0 \in 2A$ ? Dans $A/a$ on raisonne comme avec des congruences, on "fait comme si" les éléments de $a$ étaient nuls. Dans $A/(2)$, ça veut dire que tout élément de la forme $2x$, avec $x \in A$, est nul (plus formellement, a son image dans le quotient nulle).

Topalg: quand le contexte est clair $aA$ et $(a)$ sont la même chose.

@topalg

Prends un cours qui part de zéro sur les groupes quotients et anneaux quotients. La loi quotient sur $A/I$ ($I$ étant un idéal de l'anneau $A$) est définie de sorte que la surjection canonique $A\to A/I$ soit un morphisme d'anneaux. C'est ça qui dit comment on « calcule » dans $A/I$. L'anneau $\Z/n\Z$ est un cas particulier de cette situation et permet de fixer les idées quand on l'a un peu pratiqué.

Ce sont surtout des exercices qu'il devrait faire à mon humble avis. Si on lui demandait de réciter le cours sur ce sujet je suis persuadé qu'il produirait quelque chose de correct ou très peu s'en faut.

Bonsoir ;
alors pour le 3 éme cas, pourquoi tu n'as pas conclu, que la caractéristique est égale exactement à 65 ?

On cherche à montrer cherche à trouver tous les entiers de Gauss $z$ tel que $(1+8i)z$ est un entier naturel non nul.
(la classe de $(1+8i)z$ dans l'anneau quotient $A/(1+8i)A$ est la classe de $0$).

$1+1+\cdots+1$ est un entier donc un réel.
Quels sont les nombres complexes $z=a+bi$, avec $a,b$ réels, tels que $(1+8i)(a+bi)\in \mathbb{R}$ ?

$(1+8i)(a+bi)=a+bi+8ai-8b=(a-8b)+(8a+b)i$ pour que ce nombre soit réel il faut et il suffit que $8a+b=0$
c'est à dire que $z=a-8ai$ et alors $(1+8i)z=65a$
Or, notre $z$ appartient à l'anneau des entiers de Gauss, donc la partie réelle et la partie imaginaire doivent être un des entiers.
donc $a$ est un entier. $a$ est nul si et seulement si $z$ est nul. la caractéristique cherchée ne peut pas être nulle donc c'est nécessairement $65$.

La partie où il y a $8+6i$ cela correspond à quelle question posée?

Il me semble que la caractéristique est 0 ou un nombre premier.
... je retire, c'est vrai dans un anneau intègre seulement.

[Pour la bonne compréhension du fil, laisser une trace des modifs effectuées. AD]

https://www.projet-voltaire.fr/regles-orthographe/elle-s-est-rendue-compte-ou-elle-s-est-rendu-compte/