Caractéristique anneau quotient
Bonjour
Voici un exo.
Soit $A$ l'anneau des entiers de Gauss. Déterminer la caractéristique des anneaux quotients suivants :
1) $A/2A$
2) $A/(1+i)A$
3) $A/(1+8i)A$
Mon problème c'est que je ne sais pas comment ça marche les calculs dans $A/a$ (où $a$ est un idéal)
Dans la correction il est écrit ce qu'on cherche : on cherche l’ordre de q(1) dans le groupe additif
$A/a$, c’est-à-dire on cherche le plus petit entier $c \ne 1$ tel que $cq(1) = q(0)$.
Ce que j'aimerais savoir c'est comment ça marche les calculs dans $A/a$ (où $a$ est un idéal) une bonne fois pour toute. C'est-à-dire : par exemple $q(1)+q(1)$ c'est égal à quoi, quels sont les $x$ tq $q(0)=q(x)$ etc.
Merci d'avance.
Voici un exo.
Soit $A$ l'anneau des entiers de Gauss. Déterminer la caractéristique des anneaux quotients suivants :
1) $A/2A$
2) $A/(1+i)A$
3) $A/(1+8i)A$
Mon problème c'est que je ne sais pas comment ça marche les calculs dans $A/a$ (où $a$ est un idéal)
Dans la correction il est écrit ce qu'on cherche : on cherche l’ordre de q(1) dans le groupe additif
$A/a$, c’est-à-dire on cherche le plus petit entier $c \ne 1$ tel que $cq(1) = q(0)$.
Ce que j'aimerais savoir c'est comment ça marche les calculs dans $A/a$ (où $a$ est un idéal) une bonne fois pour toute. C'est-à-dire : par exemple $q(1)+q(1)$ c'est égal à quoi, quels sont les $x$ tq $q(0)=q(x)$ etc.
Merci d'avance.
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Réponses
Pour le 2) on a $(1+i)(1-i)=1^2-i^2=2$ donc $1+1$ appartient à l'idéal $(1+i)A$ donc la caractéristique est?
Pour le 3) on a $(1+8i)(1-8i)=65$ donc cela permet d'avoir un majorant pour la caractéristique.
PS:
Je parle de polynômes sans terme constant.
Par exemple: $2=(1-i)(1+i)$ est un polynôme à coefficients dans l'anneau des entiers de Gauss en $1+i$ (ou en $1-i$)
Il est clair que $A\equiv c\mod{a}$ car on peut factoriser dans $b_1a+b_2a^2+b_3a^3+\cdots+b_na^n$ , $a$ (et l'autre facteur peut être éventuellement égal à $0$ si tous les $b_i$ sont nuls).
En 37 minutes on peut "tout" savoir :
$u$ et $v$ sont congrus modulo $aA$ si et seulement il existe $b$ de $A$ tel que $u-v=ab$.
La définition de base est $u$ et $v$ sont congrus si et seulement si $u-v$ appartient à l'idéal $aA$.
*: Une classe est un élément de l'anneau quotient.
$2=(1+i)(1-i)=2$ DONC $1+1$ appartient à $(1+i)A$ donc quelle est sa classe dans l'anneau quotient*?
(il faut utiliser ce que tu as qualifié de "règle").
*$A/(1+i)A$
Quand on quotiente un anneau $A$ par un idéal $I$ tous les éléments de l'idéal $I$ sont congrus deux à deux modulo $I$ et en particulier ils sont tous congrus à $0$ modulo $I$.
Ce n'est pas ma chaîne mais il devrait y en avoir. C'est un prof qui fait plein de vidéos, il faut chercher.
Prends un cours qui part de zéro sur les groupes quotients et anneaux quotients. La loi quotient sur $A/I$ ($I$ étant un idéal de l'anneau $A$) est définie de sorte que la surjection canonique $A\to A/I$ soit un morphisme d'anneaux. C'est ça qui dit comment on « calcule » dans $A/I$. L'anneau $\Z/n\Z$ est un cas particulier de cette situation et permet de fixer les idées quand on l'a un peu pratiqué.
alors pour le 3 éme cas, pourquoi tu n'as pas conclu, que la caractéristique est égale exactement à 65 ?
(la classe de $(1+8i)z$ dans l'anneau quotient $A/(1+8i)A$ est la classe de $0$).
$1+1+\cdots+1$ est un entier donc un réel.
Quels sont les nombres complexes $z=a+bi$, avec $a,b$ réels, tels que $(1+8i)(a+bi)\in \mathbb{R}$ ?
$(1+8i)(a+bi)=a+bi+8ai-8b=(a-8b)+(8a+b)i$ pour que ce nombre soit réel il faut et il suffit que $8a+b=0$
c'est à dire que $z=a-8ai$ et alors $(1+8i)z=65a$
Or, notre $z$ appartient à l'anneau des entiers de Gauss, donc la partie réelle et la partie imaginaire doivent être un des entiers.
donc $a$ est un entier. $a$ est nul si et seulement si $z$ est nul. la caractéristique cherchée ne peut pas être nulle donc c'est nécessairement $65$.
... je retire, c'est vrai dans un anneau intègre seulement.
[Pour la bonne compréhension du fil, laisser une trace des modifs effectuées. AD]
\[c=2a,\qquad0=2b,
\] sachant qu'il faut que je trouve que $A/2A$ est de caractéristique $2$.
Pour le 2) $a=(1+i)A$ en faisant quelque chose de similaire j'obtiens
\[c=a-b,\qquad0=a+b
\] La dernière égalité s'écrit $b=-a$ et du coup $c=2a$,
sachant qu'il faut que je trouve que $A/(1 + i )A$ est de caractéristique $2$.
Pour le 3) $a=(1+8i)A$ en faisant quelque chose de similaire j'obtiens
\[c=a-8b,\qquad0=b+8a.
\] On a $b=-8a$ et du coup $c=65a$,
sachant qu'il faut que je trouve que $A/(1 + 8 i )A$ est de caractéristique $65$.
Voilà c'est tout.