Isométrie partielle

superpower
superpower
dans Algèbre
Bonjour,
J’essaye de décomposer une isométrie partielle et somme de positifs
Soit $u$ une isométrie partielle
$u=a+ib$ donc $uu^*=a^2+b^2+i(ba-ab)$ doit être un projecteur
Si ce projecteur doit être minimal qu’obtient donc pour $a$ et $b$?
Merci d’avance

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Contexte ? Que sont $a$ et $b$ ? C'est quoi une isométrie partielle ? C'est quoi un projecteur minimal ?
  • superpower
    superpower
    $a,b$ sont des autoadjoints
    Une isométrie partielle $u$ est un opérateur qu vérifie $uu^* $ et $u^*u$ sont des projecteurs
    Un projecteur minimal est une projecteur sur une droite
    On peut voir les éléments comme des matrices
  • superpower
    superpower
    S’il vous plaît auriez vous une idée ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Par définition,
    $uu^*$ est la projection sur $Im (u)$
    $u^* u$ est la projection sur $\ker (u)^\perp$

    Avec $u=a+ib$ et $a,b$ auto-adjoints, n'a-t-on pas $uu^* = u^*u$ ?

    Si oui, alors $\ker (u)^\perp = Im (u).$
  • superpower
    superpower
    Merci de ta réponse
    Il peut arriver que $ab-ba$ soit de la forme $ic$ où $c$ est autoadjoint
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Si $u$ est une isométrie partielle, alors par défintion, $uu^*$ et $u^*u$ sont des projecteurs.
    Tu définis $u =a+ib$ avec $a,b$ auto-adjoints. Donc $uu^*=u*u.$
    Tu dois donc imposer $(uu^*)^2 = uu^*$ et que le projecteur est minimal.

    Tu as donc deux contraintes à écrire. Que trouves-tu ?
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