Extension de corps fini

gilderetz
gilderetz
dans Algèbre
Bonjour

Soit K un corps fini, K(a) et K(b) deux extensions finies de même degré.
Si P est le polynôme minimal de a et Q est le polynôme de minimal de b alors quel serait le polynôme minimal de a sur K(b).

Merci par avance.

Réponses

  • AlainLyon
    AlainLyon
    Bonjour
    dans $K/aK$ $P(a)\equiv 0$ donc...?
    Dans $K/bK$ $Q(b)\equiv 0$ donc...?
    Que peut-on alors dire de $Q(a)P(b)$?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Math Coss
    Math Coss
    AlainLyon sévit encore ! Que désignerait le quotient $K/aK$, sans indiscrétion ? L'anneau à un élément ? Fascinant ! C'est une propriété spécifique des corps finis qu'il n'y a qu'une seule extension de chaque degré. On ne s'en tirera pas par une petite manipulation de la sorte.
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Math Coss est incapable de faire un copier-coller pour remplacer $K$ par $\mathbb{Z}$!
    :-P
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Math Coss
    Math Coss
    Ah oui, ça arrange tout ! Enfin presque. On prend un élément $a$ dans le corps à $9$ éléments et on fait un mystérieux quotient $\Z/a\Z$. N'importe quoi.
  • gilles benson
    gilles benson
    Bonjour, si je prends $K = \mathbb{Q}$, $a = \sqrt{2}$ et $b = i$, il me semble que le polynôme minimal de $a$ est $P(X) = X^2-2$ et celui de $b$ est $Q(X) = X^2+1$; les degrés sont les mêmes (2). Bon; il fallait des corps finis...désolé
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Tout corps fini est commutatif, un corps fini et commutatif qu'est ce c'est?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • MrJ
    MrJ
    @gilderetz : Il n'y a pas de réponse générale. Par contre, le polynôme minimal de de $a$ sur $\K(b)$ divise le polynôme minimal de $a$ sur $\K$.

    Édit : J'ai un doute : a-t-on une relation entre les degrés des deux polynômes minimaux plus forte que l'inégalité élémentaire déduite de ma réponse?

    Édit 2 : J'avais mal lu la question. Voir ci-dessous.
  • Math Coss
    Math Coss
    Si $K$ est un corps fini et si $a$ et $b$ sont dans des extensions de $K$ de même degré, alors ces extensions sont isomorphes. Si on appelle $f:K(a)\to K(b)$ un tel isomorphisme, le polynôme minimal de $a$ sur $K(b)$ est $X-f(a)$.

    Un tout petit exemple : $K=\newcommand{\F}{\mathbf{F}}\F_3$, $a$ racine de $x^2+1$ et $b$ racine de $x^2-x-1$. Alors, dans $K(b)$, \[x^2+1=(x+b+1)(x-b-1).\] En effet, si $b^2=b+1$ avec $3=0$, alors $(b+1)^2=b^2-b+1=b+1-b+1=-1$.
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Un corps fini et commutatif a pour cardinal une puissance de sa caractéristique qui est un nombre premier $p$, il a donc pour cardinal $p^n$. Un corps fini est isomorphe au corps de décomposition de $X^{p^n}-X$ sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. l'application $x\mapsto x^p$ est un automorphisme sur les corps finis de cardinal $p$ nombre premier, il est appelé l'isomorphisme de Frobenius....sur tout corps fini de cardinal $p$ premier c'est l'identité, il faut donc commencer par la division euclidienne de $P$ et $Q$ par $X^{car(K)}$.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Math Coss
    Math Coss
    Et les bêtises continuent !
    AlainLyon a écrit:
    il est appelé l'isomorphisme de Frobenius... sur tout corps fini c'est l'identité
    Sur $\F_9=\F_3(b)$, avec $b^2=b+1$, l'isomorphisme de Frobenius $F:\F_9\to\F_9$ agit par exemple sur $b$ par \[b^3=b^2\cdot b=(b+1)b=b^2+b=b+1+b=-b+1\ne b.\] Ce n'est pas du tout l'identité. En fait l'ensemble des solutions de $F(x)=x$ sur $\F_{p^n}$ est $\F_p$.
  • MrJ
    MrJ
    Désolé, j'avais mal lu la question.

    Comme l'a indiqué Math Coss, comme il n'existe qu'un corps fini pour un cardinal (possible) à isomorphisme près, on en déduit que $\K(b)$ est à la fois un corps de rupture pour le polynôme minimal de $b$ sur $\K$ et celui de $a$ sur $\K$.

    De plus, dans le contexte des corps finis, le corps de rupture d'un polynôme irréductible est aussi un corps de décomposition (merci le Frobenius !). Ainsi, le polynôme minimal de $a$ sur $\K(b)$ est $X-a$.
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