Bourbaki - dualité...

Les applications $h: E\to A$ qui verifient $h(a\bullet)=ah(\bullet)$ n'héritent pas d'une structure de $A$ module à gauche, car si $x$ est dans $E$ et si $b$ et $a$ ne commutent pas alors $bh(ax)=bah(x)$ qui n'a aucune raison de valoir $abh(x)$.
Si l'on fait agir $A$ à droite, aucun probleme $(h.b)(ax)=h(ax)b=ah(x)b=a(h.b)(x)$

La construction est bien canonique, il n'y a aucun choix supplémentaire.
Si tu preferes tu as un foncteur de la catégorie opposé des $A$-modules à gauche dans celle des $A$-modules à droite donné par $M \mapsto Hom_A(M,A)$.
Comme indiqué par Maxtimax, si l'on remplace $A$ par n'importe quel $(A,A)$-bimodule $N$ alors on a la même chose, et $Hom_A(M,N)$ est un $A$-module à droite pour tout $A$-module à gauche $M$.

NoName a écrit:

Si tu preferes tu as un foncteur de la catégorie opposé des $A$-modules à gauche dans celle des $A$-modules à droite donné par $M \mapsto Hom_A(M,A)$.

Allez, écrivons tout avec des foncteurs, ce sera plus clair et plus naturel :-D

Un $A$-module à gauche, c'est un foncteur additif $F_A\to \mathbf{Ab}$, où $F_A$ est la catégorie des $A$-modules à droite libres de type fini, c'est-à-dire les $A^n$.
Je laisse en exercice cette vérification, namely que le foncteur $Fun^\oplus(F_A, \mathbf{Ab})\to A-\mathbf{Mod}$ donné par l'évaluation en $A$, et par l'action sur $G(A)$ induite par $A\times G(A) \cong \hom_{F_A}(A,A) \times G(A)\to \hom_{\mathbf{Ab}}(G(A),G(A))\times G(A) \to G(A)$, induit une équivalence entre cette catégorie de foncteurs, et la catégorie des $A$-modules à gauche.

Plus généralement, cette réalisation permet de définir la notion de $A$-module à gauche dans toute catégorie additive. En particulier, si on prend la catégorie des $B$-modules à droite $\mathbf{Mod}-B$, on peut définir la catégorie des $A$-modules à gauche dans les $B$-modules à droite par $Fun^\oplus(F_A, \mathbf{Mod}-B)$.
Exercice : modifier légèrement la construction du paragraphe précédent pour obtenir une équivalence entre cette catégorie et celle des $(A,B)$-bimodules.

Exercice: modifier les constructions précédentes pour avoir une définition similaire de "$A$-modules à droite" dans une catégorie additive quelconque. Faire les vérifications que tout marche bien. J'appelle $F_A'$ la catégorie analogue à $F_A$ que tu auras obtenu via cet exercice.

A partir de là, tout devient évident et naturel puisque : $\hom_A(E,-)$ est un foncteur additif de la catégorie des $A$-modules à gauche vers $\mathbf{Ab}$. Donc il induit, simplement par post-composition, un foncteur $Fun^\oplus(F_B', A-\mathbf{Mod})\to Fun^\oplus(F_B', \mathbf{Ab})$, c'est-à-dire un foncteur de la catégorie des $(A,B)$-bimodules vers celle des $B$-modules à droite.

Si on déroule tout, on voit que ce foncteur est bien donné par $M\mapsto \hom_A(E,M)$ avec l'action à $B$ à droite décrite plus haut. En spécialisant en $B=A$, $M= $ le bimodule $A$ usuel, on retrouve la construction du tout début.
Yay ! Donc cette opération n'est vraiment que une composition de foncteurs.



Une petite remarque : Ce post est à moitié une blague. Je ne sais pas trop ce que Thierry cherche, en particulier la partie "pour préciser ma pensée" de ta deuxième question est exactement ce qu'on t'a indiqué, que tu as l'air d'avoir parfaitement compris, donc je ne sais pas trop. Tu as l'air de chercher une interprétation qui montre que ce n'est pas ad hoc et "bricolé", et l'interprétation que je donne plus haut est une manière de voir ça.
C'est un peu une blague parce qu'on n'a pas besoin de tous ces mots pour voir que c'est naturel pardi !!
C'est aussi pas une blague parce que dans des contextes plus délicats on n'a pas le choix et on doit faire les choses comme je l'ai fait ici...

En particulier, je ne préconise pas de voir (pour le moment) les choses comme ça. Mais si ça peut aider Thierry....


Appendice: une catégorie est dite pointée si elle a un objet qui est à la fois terminal et initial, dit objet zéro.
Si une catégorie pointée a des produits et des coproduits finis, étant donnée une famille finie $(X_i)$ d'objets, il y a un morphisme distingué $\coprod_i X_i \to \prod_i X_i$ "diagonal" (qui est $0$ partout ailleurs - je vous laisse définir le morphisme 0). On l'appelle semi-additive si ce morphisme distingué est un isomorphisme, i.e. produit = coproduit.

Si $C$ est semi-additive, $\hom(A,B)$ est canoniquement un monoïde commutatif pour tous $A,B$. On dit que $C$ est additive si ce monoïde est un groupe.

Si $F: C\to D$ est un foncteur entre catégories semi-additives, il est dit additif s'il préserve les produits finis, ou équivalemment les coproduits finis (exercice).
$Fun^\oplus(C,D)$ est la sous-catégorie pleine de $Fun(C,D)$ dont les objets sont les foncteurs additifs.