Équation résoluble par radicaux
Bonjour
J'aimerais montrer que $X^5 - 2pX - p = 0$ avec $p \ge 3$ premier n'est pas résoluble par radicaux. Pouvez-vous m'indiquer quel critère utiliser ? Je suis une formation à distance et le cours d'algèbre est d'une aridité déconcertante, je n'ai pas la moindre idée après plusieurs relectures de l'ensemble du cours de ce qui est en jeu dans cette question...
Merci d'avance !
J'aimerais montrer que $X^5 - 2pX - p = 0$ avec $p \ge 3$ premier n'est pas résoluble par radicaux. Pouvez-vous m'indiquer quel critère utiliser ? Je suis une formation à distance et le cours d'algèbre est d'une aridité déconcertante, je n'ai pas la moindre idée après plusieurs relectures de l'ensemble du cours de ce qui est en jeu dans cette question...
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Réponses
$P(x)=x^5- 2 p x -p$ avec $p\geq 3$ premier.
Une étude de fonction montre que ces polynômes ont exactement $3$ racines réelles distinctes et exactement $2$ racines imaginaires conjuguées.
Ils appartiennent à l’ensemble des polynômes de $\Q.$
Ils sont irréductibles.
Ils sont de degré $5$, premier.
Donc les polynômes $P$ sont non résolubles.
Sinon, le groupe de Galois de $P$ contient une transposition (car il y a deux racines conjuguées) et un cycle d'ordre 3 qui échange les racines réelles (sauf erreur). Ceci doit prouver que le groupe de Galois est $\mathfrak{S}_5$.
@Poirot : J’ai listé des propriétés suffisantes pour démontrer que ce polynôme n’est pas résoluble. Je n’ai pas écrit que tout polynôme irréductible est non résoluble.
@Dom : J’ai effectivement défini les polynômes $P$. La conclusion est claire : «Donc les polynômes $P$... ».
@FDP : Le polynôme $x^5-1$ ne possède pas exactement deux racines imaginaires conjuguées (non réelles). Il n’est donc pas un contre exemple du théorème utilisé.
@Poirot : J’ai utilisé un théorème. Je ne sais pas s’il est connu ou pas.
Soit un polynôme dans $Q$ de degré un nombre premier $\geq 5$, irréductible, et possédant exactement deux racines non réelles, alors ce polynôme est non résoluble.
Peux-tu démontrer ce théorème ? Ou trouver un contre exemple.
C’est corrigé.