Montrer qu'un polynôme n'est pas normal

LewisK · May 2021

Bonjour,

Dans un exercice on définit ce qu'est un polynôme normal : $P$ qui est irréductible sur un corps $\mathbb{K}$ est dit normal si le corps de décomposition $L$ de $P(X)$ est égal au corps $K(r)$ pour un $r \in L$ tel que $P(r) = 0$.

Comment montrer que les polynômes de $\mathbb{Q}(X)$ définis pour $n>2$ par $P_n(X) = X^n - 2$ ne sont pas normaux ?

On vérifie d'abord rapidement par Eisenstein que ces polynômes sont bien irréductibles mais après que faire ?
J'imaginais peut-être un lien avec des racines n-ièmes de l'unité mais je ne sais pas comment procéder ?

MrJ · May 2021

Si on note $x_1,\ldots,x_n \in L$ les racines de $P$, je commencerais par vérifier que si $P$ est normal, alors on a $L=K(x_i)$ pour tout indice $i\in\{ 1, \ldots, n\}$.

Tu pourras conclure facilement en remarquant qu’une racine de ton polynôme ne vérifie pas cette propriété.

LewisK · May 2021

Merci pour ta réponse. Voici ce que j'avais compris du problème : en gros un polynôme est normal si son corps de décomposition est engendré par une seule de ses racines. Là il faudrait prouver que c'est le cas pour chacune de ses racines comme tu l'indiques. Mais à partir de là il suffit de justifier qu'il a au moins une racine réelle et au moins une racine complexe non réelle puisque les racines complexes non réelles ne seront jamais dans le corps engendré par l'une des racines réelles. Est-ce correct ?

MrJ · May 2021

C’est exactement ça.

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