Groupes de ramification

Soit $L/K$ une extension galoisienne de corps $p$-adiques (extensions finies de $\Q_p$).
Soit $G$ le groupe de Galois, $I$ le sous-groupe d'inertie, $\mathfrak{m}\subset O_L$ l'idéal maximal et $\pi$ un uniformisant de $L$.

Je fais face à l'exercice suivant. On définit pour tout $i\geq 1$, $I_i:=\{\sigma \in I\mid \sigma(\pi)/\pi \in 1+\mathfrak{m}^i \}$. Je dois montrer que $I_i$ est un sous-groupe distingué de $I$.

La définition de $I_i$ ressemble beaucoup à la définition des "groupes de ramification" $G_i= \{\sigma \in G\mid \sigma(x)/x \in 1+\mathfrak{m}^i \text{ pour tout }x\in O_L\}$. Si $L/K$ est totalement ramifiée, on sait que $O_L=O_K[\pi]$ où $\pi$ est une racine du polynôme d'Eisenstein, et que dans ce cas $G_i=\{\sigma \in G\mid \sigma(\pi)/\pi \in 1+\mathfrak{m}^i\}$. Je crois qu'en général, on n'a pas égalité. Est-ce que c'est vrai ? De plus, est-ce que vous avez déjà vu la définition de ce $I_i$ dans un livre ?

Or, j'ai des difficultés ici : je n'arrive même pas à démontrer que $I_i$ est un sous-groupe. Il est clair que $1\in I_i$. Soient $\sigma,\tau\in I_i$. On sait que $\tau(\pi)$ est encore un uniformisant, donc $\tau(\pi)=u\pi$ pour $u\in O_L^\times$. On écrit
$$\frac{\sigma\tau(\pi)}{\pi}=\frac{\sigma u}{u} \frac{\sigma\pi}{\pi}\frac{\tau\pi}{\pi}.$$
On sait que $ \frac{\sigma\pi}{\pi},\frac{\tau\pi}{\pi}\in 1+\mathfrak{m}^i$. De plus, comme $\sigma\in I$, on sait que $\sigma x\equiv x\bmod{\mathfrak{m}}$ pour tout $x\in O_L$, donc $\sigma u/u\in 1+\mathfrak{m}$. Ceci entraîne que le produit est dans $(1+\mathfrak{m})(1+\mathfrak{m}^i)\subset 1+\mathfrak{m}$.

Est-ce quelqu'un voit comment procéder ?

Il y a deux parties suivantes dans cet exercice, mais une fois que je vois comment faire pour la première partie, je pense savoir comment continuer.

Merci d'avance.