Valeurs propres de matrices complexes 2x2

mathsensei
mathsensei
dans Algèbre
Bonjour à tous

Avez-vous des techniques pour majorer facilement le rayon spectral d'une matrice complexe 2x2, voire même pour trouver le rayon spectral facilement ?

N'importe quels "tips" me seront utiles, je prends vraiment tout.

Réponses

  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Et si tu le demandais à un esclave numérique ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • MrJ
    MrJ
    Il existe une multitude de majorant pour les valeurs propres d'une matrice en fonction de ses coefficients. En voici une par exemple.
  • AD
    AD
    Bonjour Mathsensei
    Les valeurs propres de $M$ sont les racines du polynôme caractéristique : $X^2-\mathrm{tr}(M) X+\det (M)$
  • mathsensei
    mathsensei
    Malheureusement, je ne pense pas que cette méthode soit possible en examen sur feuille, mais c'est clairement utile pour vérifier ses résultat oui !
  • mathsensei
    mathsensei
    Merci, je vais y jeter un coup d'oeil !
  • mathsensei
    mathsensei
    J'ai un exercice ou j'ai besoin de majorer le rayon spectral, mais malheureusement, c'est très dur de le trouver avec cette méthode.
  • Dom
    Dom
    Avec un matrice 2x2, on sait trouver les valeurs propres, non ?

    Je ne comprends pas la question.
  • mathsensei
    mathsensei
    Je demande ça car je dois majorer le rayon spectral de la matrice ci-dessous et donner une condition sur $c\frac{\Delta t}{\Delta x}$, avec $c, \Delta x, \Delta t >0$ afin qu'on puisse majorer le rayon spectral par 1 si ça peut vous éclairer sur le but de ma question.
    \begin{pmatrix}
    -2ic \tfrac{\Delta t}{\Delta x} \sin(2\pi k\Delta x) & 1 \\
    1 & 0 \\
    \end{pmatrix} Si quelqu'un veut s'y lancer pas de problèmes.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Tu peux commencer par écrire les valeurs propres, elles sont de la forme $\pm \sqrt{1-a^2}+ i a$ si $|a|\leq 1$ et donc si $c {\Delta t \over \Delta x}\leq 1.$

    Tu peux traiter l’autre cas.
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