Polynôme cyclotomique

Thibault314
Thibault314
dans Algèbre
Bonjour
Je bute sur une étape de la démonstration de l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques dans $\mathbb{Q}[X]$.

Je ne comprends pas la deuxième ligne du deuxième paragraphe, c'est-à-dire qu'étant donné que $P \pmod p$ divise $Q^p \pmod p$, alors il existe un polynôme $S$ non constant dans $\mathbb{F}_p[X]$ tel que $S$ divise $P$ et $Q$...

Auriez-vous une explication ?
Merci de votre attention,
Bonne soirée.
Thibault121746

Réponses

  • Borelline
    Borelline
    Bonjour !
    $\overline{P}$ admet un diviseur irréductible $S \in \mathbb{F}_p[X]$, et alors $S$ divise $\overline{P}$ dans $\mathbb{F}_p[X]$. donc $S$ divise $\overline{Q}^p$ dans $\mathbb{F}_p[X]$, or $S$ est irréductible dans $\mathbb{F}_p[X]$ donc par lemme d'Euclide, $S$ divise $\overline{Q}$ dans $\mathbb{F}_p[X]$
  • gai requin
    gai requin
    Prendre pour $S$ un facteur irréductible de $\overline P$.
    Edit : grillé par Borelline !
  • Thibault314
    Thibault314
    Merci beaucoup !
  • Borelline
    Borelline
    La bonne question est : pourquoi $\overline{P}$ admet un diviseur irréductible dans $\mathbb{F}_p[X]$ ?
    Autrement dit, pourquoi n'est-il pas constant ? (:P)
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