Sous-groupes

Pour la 3), vous connaissez tous les sous-groupes de $\Z$, quels sont-ils ? Peuvent-ils être finis ? Conclusion ?
Pourquoi votre raisonnement ne fonctionne pas ?
Si $H$ était sous-groupe de $G$, on aurait un élément $x$ de $\Z$ tel que $2x = 0$ où $x \neq 0$, ce qui n'est pas possible dans $\Z$

Pour la 2), j'aurais dit oui aussi mais je travaille à isomorphisme près. $\Z/100\Z$ est cyclique et possède donc un sous-groupe d'ordre $10$ car $10$ divise $100$ et ce sous-groupe est isomorphe à $\Z/10\Z$

Bonjour,

Je te propose de décrire de manière précise, ensembliste, les éléments de (par exemple) $ H:= \Z/10\Z$ et $G := \Z/100\Z$. Tu peux commencer par un cas particulier : décris de manière explicite, sous forme ensembliste :

1) la classe de 3 dans $H$ ;
2) la classe de 3 dans $G$.

Edit ; je crois que Borelline a raison si l'on travaille à isomorphisme près. Mais commençons par des choses simples. ;-)

salut
"les 10 éléments de H" sont des classes d'équivalence modulo 10 alors que "les 100 éléments de G" sont des classe d'équivalences modulo 100, H n'est pas inclus dans G, mais si tu notes les classes d'équivalence dans les 2 de la même façon, tu confonds...
@+

petit rappel: les sous-groupes G (non trivial) de $\mathbb{Z}$ s'obtiennent en appliquant la division euclidienne à un élément positif (strictement) de G par le plus petit élément strictement positif de G qui existe (pourquoi?).

Et sinon, vu qu'il n'est pas question d'isomorphisme dans la question, la réponse de Math Coss paraît la plus proche de ce qui est attendu.

Tu es sur la bonne voie : la classe de 3 dans $\Z/10\Z$ est bien $3+10\Z$, c'est-à-dire $\{ 3 +10k \mid k\in \Z\}$. Cela marche évidemment de la même façon pour les 9 autres éléments de $\Z/10\Z$ : la classe de 0, celle de 1, etc.

Une fois que tu as réfléchi à ça, tu dois visualiser les éléments de $\Z/10\Z$ (chacun est une partie de $\Z$ : visualise-là) et, de même, ceux de $\Z/100\Z$. Et là, tu dois bien voir que $\Z/10\Z$ n'est pas une partie de $\Z/100\Z$.

Pour l'histoire du quotient versus la multiplication (ou plutôt, la loi de groupe) dans la définition des classes à gauche ou à droite : il faut considérer le quotient dans son ensemble, c'est-à-dire l'ensemble des classes modulo $H$ de chaque élément de $G$. Étant donné que pour tout $a$ dans $G$, l'applicqtion $H\to aH$, $h\mapsto ah$ est une bijection, chaque classe est équipotente à $H$ ; donc, en raison de la partition de $G$ en classes d'équivalence pour la relation d'équivalence sur $G$ modulo $H$, lorsque $G$ est fini, l'ordre de $G/H$ (i.e., le nombre de classes) est $\frac{|G|}{|H|}$. Le passage au quotient modulo $H$ revient à assimiler deux éléments de $G$ dès lors qu'ils sont dans la même classe modulo $H$. D'après ce qui précède, ceci produit $|H|$ fois moins d'éléments à considérer (lorsque l'on travaille sur $G/H$, on peut par exemple raisonner soit directement sur les classes, soit sur les éléments d'un système de représentants, à savoir un ensemble d'éléments de $G$ qui contient exactement un élément par classe modulo $H$).

Le paragraphe précédent est écrit en notation multiplicative pour la loi de $G$. N'oublie pas de traduire ça en notation additive pour $(\Z, +)$ et consorts (cela affecte la façon de noter la bijection dont j'ai parlé).

Non, tu confonds le fait que 3+100Z est une partie de 3+10Z avec le fait que 3+100Z est un n+10 z, un élément de H.
"G inclus dans H" veut dire que les éléments de G sont des éléments de H, pas inclus dans les éléments de H.

Cordialement.