Rang matrice transposée

Code_Name
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dans Algèbre
Bonjour, je ne vois pas exactement pourquoi si on a $A\in \mathbb R^{m\times n}$ avec rang$(A)=n$ alors rang$(A^TA)=n$.
Merci pour votre aide.

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Essaye de montrer que les matrices $A$ et $A^\textrm{T} A$ ont le même noyau.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,

    Est-ce encore vrai si $A$ est une matrice complexe ?
  • MrJ
    MrJ
    Il me semble que oui en rajoutant un petit conjugué $\textrm{rang}(A) = \textrm{rang}(\bar{A}^\textrm{T} A)$.
  • Code_Name
    Code_Name
    Ah oui c'est bon merci :-)
  • MrJ
    MrJ
    @GaBuZoMeu : Sans la conjugaison par contre, je ne pense pas que ça marche : par exemple, je pense qu'il est possible de construire une matrice symétrique non nulle et nilpotente dans $\mathcal{M}_2(\C)$ (mais je n'ai pas essayé de le faire).
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    A priori, ma question s'adressait à Code_Name. ;-)
    À propos de ton dernier message : une matrice symétrique de rang maximal (donc inversible) est très rarement nilpotente.
  • MrJ
    MrJ
    @GaBuZoMeu : Oups désolé, je me disais aussi que tu devais savoir le faire. (:P)

    Sinon, j'ai juste indiqué que la matrice doit être non nulle. Si une telle matrice existe, elle doit nécessairement être de rang $1$.

    Édit : Je viens de comprendre ce que tu voulais dire. J'étais resté sur $\textrm{rang}(A^\textrm{T} A) = \textrm{rang}(A)$.
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