Calcul sous contraintes
Bonjour
Y a-t-il un moyen pour déterminer une expression simple de $$X = \frac{2 \; x^{3} - x \; y^{2}}{2 \; x^{2} + y^{2} - 2}
$$ sachant que $1<X<2$,
$4 \; x^{2} \; y^{2} + y^{4} - 4 \; x^{2} - 4 \; y^{2} + 4 = 0$
et $5 \; x^{2} \; y^{2} - 2 \; x^{4} + y^{4} - 2 \; x \; y^{2} + 4 \; x^{3} - 4 \; x^{2} - 3 \; y^{2} + 2 = 0$ ?
Wolfram Alpha me dit que les solutions du système s'expriment par radicaux, mais les expressions sont énormes. Avec des divisions euclidiennes de polynômes ? Un calcul de résultant ?
Y a-t-il un moyen pour déterminer une expression simple de $$X = \frac{2 \; x^{3} - x \; y^{2}}{2 \; x^{2} + y^{2} - 2}
$$ sachant que $1<X<2$,
$4 \; x^{2} \; y^{2} + y^{4} - 4 \; x^{2} - 4 \; y^{2} + 4 = 0$
et $5 \; x^{2} \; y^{2} - 2 \; x^{4} + y^{4} - 2 \; x \; y^{2} + 4 \; x^{3} - 4 \; x^{2} - 3 \; y^{2} + 2 = 0$ ?
Wolfram Alpha me dit que les solutions du système s'expriment par radicaux, mais les expressions sont énormes. Avec des divisions euclidiennes de polynômes ? Un calcul de résultant ?
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Réponses
Oui, le résultant doit fonctionner.
On a $3$ polynômes en $x,y$ où $X$ est un paramètre.
Deux résultants pour éliminer $y$ par exemple donnent deux polynômes en $x$.
Et un troisième résultant donne un polynôme en $X$.
Il faut espérer que ce dernier se laisse manipuler simplement.
Cordialement,
Rescassol
Un petit coup de Gröbner pour tenter d'éliminer $x,y$.
Une belle équation du quatrième degré, résoluble par radicaux, avec une unique solution $1<X<2$ très proche de $2$.
Il y a plus simple :-D
Cordialement,
Rescassol
Les racines ne sont pas constructibles à la règle et au compas.
$X$ est l'abscisse du centre du cercle passant par $(1,0)$ et bitangent à la courbe d'équation $4 \; x^{2} \; y^{2} + y^{4} - 4 \; x^{2} - 4 \; y^{2} + 4 = 0$. Il y a peut-être plus simple pour obtenir l'équation de degré $4$ ?
Je voulais construire la chaîne de cercles bitangents (et tangents entre eux) pour voir ce que cela donnait, car la courbe coïncide presque avec ses asymptotes $y=1$ et $y=-1$ dès que $x>2$. Mais les calculs sont infaisables.
Une sorte de cylindre très très allongé - la partie de la courbe d'équation $4 \; x^{2} \; y^{2} + y^{4} - 4 \; x^{2} - 4 \;y^{2} + 4 = 0$ située dans le demi-plan $x>0$ - réclame sa chaîne de cercles tangents intérieurement. Le premier de ces cercles ne se laissant pas planter facilement (voir figure ci-dessous), il est inutile d'envisager la suite à partir de lui. Je me suis donc résolu à franchir le rubicon : prendre un aller simple pour l'infini. Commencer par le dernier de la série en somme. Surtout qu'à l'infini, et contrairement à la région proche de l'origine, la porte est grande ouverte. Une invitation. Me trouvant au bout du tunnel, j'ai commencé à lancer des boules de rayon $1$ à l'intérieur du monstre, dans l'espoir qu'elles éclairent la situation. Sans succès.
Celles-ci ont pourtant un rayon parfaitement déterminé, puisqu'il est égal à $1$, et leurs positions initiales sont toutes connues : $x=+\infty$.
Je veux casser l'infini en deux, pour le caser lui et une de ses chaînes jusqu'au bout du bout. Il ne faudra donc pas y aller de main morte, mais le tunnel contractant est justement là pour adoucir le choc.