Calcul sous contraintes

Ludwig
Ludwig
dans Algèbre
Bonjour
Y a-t-il un moyen pour déterminer une expression simple de $$X = \frac{2 \; x^{3} - x \; y^{2}}{2 \; x^{2} + y^{2} - 2}
$$ sachant que $1<X<2$,
$4 \; x^{2} \; y^{2} + y^{4} - 4 \; x^{2} - 4 \; y^{2} + 4 = 0$
et $5 \; x^{2} \; y^{2} - 2 \; x^{4} + y^{4} - 2 \; x \; y^{2} + 4 \; x^{3} - 4 \; x^{2} - 3 \; y^{2} + 2 = 0$ ?

Wolfram Alpha me dit que les solutions du système s'expriment par radicaux, mais les expressions sont énormes. Avec des divisions euclidiennes de polynômes ? Un calcul de résultant ?

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour

    Oui, le résultant doit fonctionner.
    On a $3$ polynômes en $x,y$ où $X$ est un paramètre.
    Deux résultants pour éliminer $y$ par exemple donnent deux polynômes en $x$.
    Et un troisième résultant donne un polynôme en $X$.
    Il faut espérer que ce dernier se laisse manipuler simplement.

    Cordialement,
    Rescassol
  • gai requin
    gai requin
    Bonjour Ludwig,

    Un petit coup de Gröbner pour tenter d'éliminer $x,y$.
    > J := {4*x^2*y^2+y^4-4*x^2-4*y^2+4, -2*x^4+5*x^2*y^2+y^4+4*x^3-2*x*y^2-4*x^2-3*y^2+2, (2*x^2+y^2-2)*X-2*x^3+x*y^2} ;
> with(Groebner) :
> Basis(J, lexdeg([x, y], [X]), method = walk) ;
[8*X^5*x+28*X^4*x-52*X^3*x-56*X^2*x-18*X*x-3*x, 3344*X^4*x+10552*X^3*x-24952*X^2*x-14372*X*x+1095*y^2-4218*x-2190,
 784*X^4*x+2432*X^3*x-6332*X^2*x-3862*X*x+1095*x^2-93*x]
> factor(%[1]) ;
x*(2*X+1)*(4*X^4+12*X^3-32*X^2-12*X-3)

    Une belle équation du quatrième degré, résoluble par radicaux, avec une unique solution $1<X<2$ très proche de $2$.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Il y a plus simple :-D

    Cordialement,

    Rescassol121976
  • gai requin
    gai requin
    En revanche,
    > galois(4*X^4+12*X^3-32*X^2-12*X-3) ;
"4T5", {"S(4)"}, "-", 24, {"(1 4)", "(2 4)", "(3 4)"}

    Les racines ne sont pas constructibles à la règle et au compas.
  • Ludwig
    Ludwig
    Bonjour et merci pour tous ces calculs.
    $X$ est l'abscisse du centre du cercle passant par $(1,0)$ et bitangent à la courbe d'équation $4 \; x^{2} \; y^{2} + y^{4} - 4 \; x^{2} - 4 \; y^{2} + 4 = 0$. Il y a peut-être plus simple pour obtenir l'équation de degré $4$ ?
    Je voulais construire la chaîne de cercles bitangents (et tangents entre eux) pour voir ce que cela donnait, car la courbe coïncide presque avec ses asymptotes $y=1$ et $y=-1$ dès que $x>2$. Mais les calculs sont infaisables.121984
  • Ludwig
    Ludwig
    Bonsoir,

    Une sorte de cylindre très très allongé - la partie de la courbe d'équation $4 \; x^{2} \; y^{2} + y^{4} - 4 \; x^{2} - 4 \;y^{2} + 4 = 0$ située dans le demi-plan $x>0$ - réclame sa chaîne de cercles tangents intérieurement. Le premier de ces cercles ne se laissant pas planter facilement (voir figure ci-dessous), il est inutile d'envisager la suite à partir de lui. Je me suis donc résolu à franchir le rubicon : prendre un aller simple pour l'infini. Commencer par le dernier de la série en somme. Surtout qu'à l'infini, et contrairement à la région proche de l'origine, la porte est grande ouverte. Une invitation. Me trouvant au bout du tunnel, j'ai commencé à lancer des boules de rayon $1$ à l'intérieur du monstre, dans l'espoir qu'elles éclairent la situation. Sans succès.
    Celles-ci ont pourtant un rayon parfaitement déterminé, puisqu'il est égal à $1$, et leurs positions initiales sont toutes connues : $x=+\infty$.
    Je veux casser l'infini en deux, pour le caser lui et une de ses chaînes jusqu'au bout du bout. Il ne faudra donc pas y aller de main morte, mais le tunnel contractant est justement là pour adoucir le choc.122088
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