Applications linéaires

Dans quel espace vectoriel ton application arrive-t-elle ? Que te suffit-il de montrer pour obtenir la surjectivité ?

Bonjour,
C'est, comme tu l'as écrit, l'ensemble des $f(x,y,z)$ lorsque $(x,y,z)$ parcourt $\R^3$, c'est donc l'ensemble des $x+y-z$ lorsque $(x,y,z)$ parcourt $\R^3$.
Quel est donc cet ensemble mystérieux qui correspond à tous les résultats possibles que l'on peut obtenir en calculant $x+y-z$ lorsque $x$, $y$ et $z$ prennent toutes les valeurs réelles possibles ?

En effet, $x+y-z$ est un nombre réel. Mais quand tu fais varier $x$, $y$ et $z$, quelles sont exactement les valeurs que tu obtiens ?

Par exemple, si tu choisis $y$ et $z$ nuls et que tu fais varier $x$ dans $\R$, quel ensemble de valeurs obtiens-tu ?

Certes, mais quelle droite ?

En résumé, l'image de $f$ est un sous-espace vectoriel de $\R$ et c'est une droite vectorielle.
Sommes-nous bloqués ?

Lorsque $y=0$ et $z=0$, combien vaut $f(x,y,z)$ ?
Quelles sont les valeurs prises par $f(x,y,z)$ lorsque $x$ varie dans $\R$, $y=0$ et $z=0$ ?
Quelles sont les valeurs prises par $f(x,y,z)$ lorsque $x$, $y$ et $z$ varient dans $\R$ ?

Pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x,0,0)=\ldots$.
Ainsi, $\{f(x,0,0)\ \vert\ x\in\R\}=\ldots$.
Or, $\mathrm{Im}(f)=\{f(x,y,z)\ \vert\ x\in\R\}\supset\{f(x,0,0)\ \vert\ x\in\R\}$ et $\mathrm{Im}(f)\subset\R$. Donc $\mathrm{Im}(f)=\ldots$.