Marsup on ne sait pas si $f$ est inversible :-S
Je ne connais pas non plus le déterminant de $f$.
1)a) Si $M$ est inversible alors $\det(M) \det(M^{-1}) )= \det(I_n)=1$
Or $M \in M_n(\Z)$ donc $\det(M) \in \Z$ et $\det(M^{-1}) \in \Z$.
Dans $\Z$, les inversibles sont $1$ et $-1$ donc $\det(M)= \pm 1$
1)b) $M$ est inversible et $M^{-1} = \dfrac{1}{\det(M)} Com(M)^T \in M_n(\Z)$
2)a) On utilise la caractérisation démontrée dans la question $1$.
$Gl_n(\Z) \subset GL_n(\R)$
$I_n \in GL_n(\Z)$
Soient $M,N \in GL_n(\Z)$. Alors $\det(MN)=\det(M) \det( N) = \pm 1$
$\det(M^{-1})=1 / \det(M)= \pm 1$
Est-on bien d'accord maintenant sur la question de base :
"Les f qui conviennent sont celles dont la matrice dans la base canonique sont à coefficients entiers et ont pour déterminant +1 ou -1" ?
Tu sais que $f(Z^{n}) \subset Z^{n}$. Pour l'autre inclusion tu dois montrer que tout élément de $Z^{n}$ a un antécédent par f.
Mais avec les questions du sujet d'agrégation n'est-ce pas évident maintenant ?
Soit $f$ un endomorphisme de $\R^n$ tel que $f(\Z^n)=\Z^n$.
Tu as montré que la matrice de $f$ dans la base canonique est à coefficients entiers.
1) Montre que $f$ est surjective puis bijective.
2) Montre que la matrice de $f^{-1}$ dans la base canonique est à coefficients entiers.
3) Montre que $\det f=\pm 1$.
4) Réciproque ?
@Gai Requin
Merci c'est bien plus clair. Je pense avoir terminé, à un détail près que je n'ai pas réussi à montrer.
$A \in M_n(\Z)$. Supposons $f(\Z^n)= \Z^n$
1) $f$ est une application de $\R^n$ à valeurs dans $\R^n$ donc il y a équivalence entre surjectivité et bijectivité.
Ainsi, $\Z^n \subset f(\Z^n) \implies Vect(Z^n)= \R^n \subset Im(f)$.
Or par définition, $Im(f) \subset \R^n$ on a par double inclusion $Im(f)=\R^n$
$f$ est surjective donc bijective.
2) Pas réussi à montrer que $M^{-1} \in M_n(\Z)$. Je l'admets.
3) $\det(M) \det(M^{-1})=1$ or le déterminant de $M$ et $M^{-1}$ est à coefficients entiers, alors forcément $\det(M)= \pm 1$ car on travaille dans $\Z$.
Réciproquement, on prend $A$ inversible à coefficient entiers. J'ai déjà montré que $f(\Z^n) \subset \Z^n$.
Pour montrer que $\Z^n \subset f(\Z^n)$ je prends $X \in \Z^n$ et je cherche $Y \in \Z^n$ tel que $X=AY$. Comme $A$ est inversible, c'est un système de Cramer qui possède une unique solution.
Merci pour vous Oshine, quant au fait que M(-1) est à coefficients entiers, il suffit de regarder f(-1)(ei) (les éléments de la base) et qui sont tous dans Zn, donc la matrice est bien évidemment à coeff dans Z
Dans les opérations élémentaires, on effectue des opérations élémentaires comme échanger deux lignes, multiplier une ligne par un rationnel non nul et on ajoute à une ligne un multiple d'une autre.
Toutes ces opérations font qu'on aura que des nombres rationnels durant toutes les étapes et donc $M^{-1}$ sera une matrice à coefficients rationnels.
Je rebondis sur le hors-sujet de marsup X:-( pour ceux que ça intéresse : un résultat de Pólya dit que si $f$ est une fonction entière vérifiant $f(\mathbb N) \subset \mathbb Z$ et pour tout $z \in \mathbb C$, $|f(x)| \leq CA^{|z|}$ pour des constantes $C>0$ et $0<A<2$, alors $f$ est un polynôme. La fonction $z \mapsto 2^z$ montre que la borne sur $A$ est optimale. Ce même Pólya a montré qu'un polynôme à coefficients rationnels envoyant $\mathbb N$ dans $\mathbb Z$ est combinaison linéaire à coefficients entiers de "polynômes de marsup".
Je reviens à cette question, pour tirer la conclusion : f vérifie la condition "f(Zn)=Zn" <si et seulement si > M est à coefficients entiers inversibles de déterminant égal + ou - 1, où M représente f comme matrice dans la base canonique).
Réponses
Que dire de la matrice de $f$ ?
Traite les cas $n=1$ et $n=2$ pour trouver de l'inspiration.
Essaie d'écrire des choses ! ;-)
Notons $A=(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n})$ la matrice de $f$ dans la base canonique. Notons $B=(e_1,e_2, \cdots, e_n)$ la base canonique.
On a par hypothèse $\forall i \in [|1,n|] \ \ f(e_i) \in \Z$. Mais $f(e_i)=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_{ki} e_i \in \Z^n$.
Tous les vecteurs colonnes de $A$ sont des éléments de $\Z^n$.
On en déduit que tous les termes de la matrice $A$ sont des entiers relatifs.
C'est terminé ?
Si $n \in \N$, je ne sais pas montrer que $P(n)=\dfrac{1}{k !} n(n-1) \times \cdots \times (n-k+1) \in \N$. Quel rapport avec l'exercice ?
L'endomorphisme nul convient.
Mais les coefficients binomiaux $\binom{n}{k}$ sont polynomiaux en $n$ et prennent leurs valeurs dans $\N$.
Il y a un exercice célèbre qui dit que tout polynôme qui stabilise $\N$ est combinaison linéaire entière de ces coefficients binomiaux.
Sinon, bravo pour ta résolution de ton exercice sur les endomorphismes, c'est parfait ! (tu)
Pour la forme, il faudrait encore vérifier la réciproque, OShine ;-)
C'est la question $1.a)$ de 33,33% 88,89% des sujets d'agreg sur les réseaux !
Oui c'est vrai, mais ça on le voit dans la réciproque que je viens de faire.
@Chaurien
Oui un coefficient binomial est un entier.
@Marsup
Ok
Réciproquement, soit $A$ une matrice à coefficient entiers. $\forall (i,j) \in [|1,n|]^2 \ \ a_{ij} \in \Z$.
Raisonnons matriciellement. Soit $X \in \Z^n$. Montrons que $AX \in \Z^n$.
Soit $u \in [|1,n|]$. On a $[AX]_u = \displaystyle\sum_{k=1}^n a_{uk} x_k \in \Z$. Ainsi, $AX \in \Z^n$.
On a donc montré que $\boxed{f(\Z^n) \subset \Z^n}$
Je bloque pour montrer que $\Z^n \subset f(\Z^n)$.
Soit $X \in \Z^n$. On cherche $Y \in \Z^n$ tel que $X=AY$ et là je ne vois pas comment continuer.
Je crois qu'à l'externe, ils attendent que les candidats sachent la réponse dès la question 1.a)
Je ne connais pas non plus le déterminant de $f$.
1)a) Si $M$ est inversible alors $\det(M) \det(M^{-1}) )= \det(I_n)=1$
Or $M \in M_n(\Z)$ donc $\det(M) \in \Z$ et $\det(M^{-1}) \in \Z$.
Dans $\Z$, les inversibles sont $1$ et $-1$ donc $\det(M)= \pm 1$
1)b) $M$ est inversible et $M^{-1} = \dfrac{1}{\det(M)} Com(M)^T \in M_n(\Z)$
2)a) On utilise la caractérisation démontrée dans la question $1$.
$Gl_n(\Z) \subset GL_n(\R)$
$I_n \in GL_n(\Z)$
Soient $M,N \in GL_n(\Z)$. Alors $\det(MN)=\det(M) \det( N) = \pm 1$
$\det(M^{-1})=1 / \det(M)= \pm 1$
Ici je dois montrer que $AY=X$ d'inconnue $Y$ admet une solution, je dois donc montrer que $A$ est inversible.
Je ne trouve pas comment montrer que $f$ est inversible.
Est-on bien d'accord maintenant sur la question de base :
"Les f qui conviennent sont celles dont la matrice dans la base canonique sont à coefficients entiers et ont pour déterminant +1 ou -1" ?
Tu sais que $f(Z^{n}) \subset Z^{n}$. Pour l'autre inclusion tu dois montrer que tout élément de $Z^{n}$ a un antécédent par f.
Mais avec les questions du sujet d'agrégation n'est-ce pas évident maintenant ?
Le problème est que je ne comprends plus rien avec toutes ces infos mélangées.
Si $f$ est linéaire, alors $im(f)$ est un sous-espace vectoriel.
Or si tu as $f(Z^n) = Z^n$, eh bien tu as $Z^n \subset im(f)$.
Donc $vect(Z^n) \subset im(f)$, donc $im(f) = R^n$.
Par le théorème du rang, $f$ est donc bijective.
Et puis après,tu t'intéresses au déterminant via la formule d'inversion par la comatrice.
(C'est plutôt la question 1.b dans ton approche !)
Tu as montré que la matrice de $f$ dans la base canonique est à coefficients entiers.
1) Montre que $f$ est surjective puis bijective.
2) Montre que la matrice de $f^{-1}$ dans la base canonique est à coefficients entiers.
3) Montre que $\det f=\pm 1$.
4) Réciproque ?
Merci c'est bien plus clair. Je pense avoir terminé, à un détail près que je n'ai pas réussi à montrer.
$A \in M_n(\Z)$. Supposons $f(\Z^n)= \Z^n$
1) $f$ est une application de $\R^n$ à valeurs dans $\R^n$ donc il y a équivalence entre surjectivité et bijectivité.
Ainsi, $\Z^n \subset f(\Z^n) \implies Vect(Z^n)= \R^n \subset Im(f)$.
Or par définition, $Im(f) \subset \R^n$ on a par double inclusion $Im(f)=\R^n$
$f$ est surjective donc bijective.
2) Pas réussi à montrer que $M^{-1} \in M_n(\Z)$. Je l'admets.
3) $\det(M) \det(M^{-1})=1$ or le déterminant de $M$ et $M^{-1}$ est à coefficients entiers, alors forcément $\det(M)= \pm 1$ car on travaille dans $\Z$.
Réciproquement, on prend $A$ inversible à coefficient entiers. J'ai déjà montré que $f(\Z^n) \subset \Z^n$.
Pour montrer que $\Z^n \subset f(\Z^n)$ je prends $X \in \Z^n$ et je cherche $Y \in \Z^n$ tel que $X=AY$. Comme $A$ est inversible, c'est un système de Cramer qui possède une unique solution.
Donc $f(\Z^n)=\Z^n$
Bien vu Gai Requin (tu)
On a $f(\Z^n)=\Z^n$ donc $f^{-1} (\Z^n)=\Z^n$ et $f^{-1} \in L(\R^n)$
D'après ce qui précède, on a bien que $A^{-1} \in M_n(\Z)$.
Ce qui termine l'exercice.
(Peut-être que je suis un peu optimiste ?)
Sans blague, pas loin de la moitié des sujets d'agreg en algèbre-géométrie commencent pas cette question,
Donc ! ....
Tant qu'à faire....
Sachons la traiter!
... sans mentir (y compris à soi-même) !
Ça tombe vraiment très souvent à l'agreg' !
Autrement dit, en pratique : C'est de la question de cours !!!!!
J'ai tenté ceci mais je n'ai pas abouti.
Soit $M \in \mathcal M_n(\Z)$
Notons $M=(m_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$ et $M^{-1}=(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$
On a par définition $M \times M^{-1}= I_n$.
Soient $(u,v) \in [|1,n|]^2$. On a $[M M^{-1}]_{uv} = \displaystyle\sum_{k=1}^n m_{uk} a_{ kv} $
Ce qui fournit $\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^n m_{uk} a_{ kv} = \delta_{uv}}$ où $\forall (k,u) \in [|1,n|]^2 \ m_{uk} \in \Z$
Pourquoi ?
Dans les opérations élémentaires, on effectue des opérations élémentaires comme échanger deux lignes, multiplier une ligne par un rationnel non nul et on ajoute à une ligne un multiple d'une autre.
Toutes ces opérations font qu'on aura que des nombres rationnels durant toutes les étapes et donc $M^{-1}$ sera une matrice à coefficients rationnels.
C'était tout, je sors !
$\chi(M)= \displaystyle\sum_{k=0}^n a _k M^k=0$
Donc $a_0 I_n = - \displaystyle\sum_{k=1}^n a _k M^k$