Endomorphismes vérifiant une égalité

D'accord merci.

Notons $A=(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n})$ la matrice de $f$ dans la base canonique. Notons $B=(e_1,e_2, \cdots, e_n)$ la base canonique.

On a par hypothèse $\forall i \in [|1,n|] \ \ f(e_i) \in \Z$. Mais $f(e_i)=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_{ki} e_i \in \Z^n$.

Tous les vecteurs colonnes de $A$ sont des éléments de $\Z^n$.

On en déduit que tous les termes de la matrice $A$ sont des entiers relatifs.

C'est terminé ?

@Marsup

Si $n \in \N$, je ne sais pas montrer que $P(n)=\dfrac{1}{k !} n(n-1) \times \cdots \times (n-k+1) \in \N$. Quel rapport avec l'exercice ?

@Gai Requin
Oui c'est vrai, mais ça on le voit dans la réciproque que je viens de faire.

@Chaurien
Oui un coefficient binomial est un entier.

@Marsup
Ok

Réciproquement, soit $A$ une matrice à coefficient entiers. $\forall (i,j) \in [|1,n|]^2 \ \ a_{ij} \in \Z$.

Raisonnons matriciellement. Soit $X \in \Z^n$. Montrons que $AX \in \Z^n$.

Soit $u \in [|1,n|]$. On a $[AX]_u = \displaystyle\sum_{k=1}^n a_{uk} x_k \in \Z$. Ainsi, $AX \in \Z^n$.

On a donc montré que $\boxed{f(\Z^n) \subset \Z^n}$

Je bloque pour montrer que $\Z^n \subset f(\Z^n)$.

Soit $X \in \Z^n$. On cherche $Y \in \Z^n$ tel que $X=AY$ et là je ne vois pas comment continuer.

Marsup on ne sait pas si $f$ est inversible :-S
Je ne connais pas non plus le déterminant de $f$.

1)a) Si $M$ est inversible alors $\det(M) \det(M^{-1}) )= \det(I_n)=1$
Or $M \in M_n(\Z)$ donc $\det(M) \in \Z$ et $\det(M^{-1}) \in \Z$.
Dans $\Z$, les inversibles sont $1$ et $-1$ donc $\det(M)= \pm 1$

1)b) $M$ est inversible et $M^{-1} = \dfrac{1}{\det(M)} Com(M)^T \in M_n(\Z)$

2)a) On utilise la caractérisation démontrée dans la question $1$.
$Gl_n(\Z) \subset GL_n(\R)$
$I_n \in GL_n(\Z)$
Soient $M,N \in GL_n(\Z)$. Alors $\det(MN)=\det(M) \det( N) = \pm 1$
$\det(M^{-1})=1 / \det(M)= \pm 1$

Je ne comprends pas à quoi sert ce passage de l'agreg interne.

Ici je dois montrer que $AY=X$ d'inconnue $Y$ admet une solution, je dois donc montrer que $A$ est inversible.

Je ne trouve pas comment montrer que $f$ est inversible.

Dans mon exercice, je n'ai jamais démontré que $\det(f)= \pm 1$ ni que $f$ est inversible.

Le problème est que je ne comprends plus rien avec toutes ces infos mélangées.

@Gai Requin
Merci c'est bien plus clair. Je pense avoir terminé, à un détail près que je n'ai pas réussi à montrer.

$A \in M_n(\Z)$. Supposons $f(\Z^n)= \Z^n$
1) $f$ est une application de $\R^n$ à valeurs dans $\R^n$ donc il y a équivalence entre surjectivité et bijectivité.
Ainsi, $\Z^n \subset f(\Z^n) \implies Vect(Z^n)= \R^n \subset Im(f)$.
Or par définition, $Im(f) \subset \R^n$ on a par double inclusion $Im(f)=\R^n$
$f$ est surjective donc bijective.

2) Pas réussi à montrer que $M^{-1} \in M_n(\Z)$. Je l'admets.

3) $\det(M) \det(M^{-1})=1$ or le déterminant de $M$ et $M^{-1}$ est à coefficients entiers, alors forcément $\det(M)= \pm 1$ car on travaille dans $\Z$.

Réciproquement, on prend $A$ inversible à coefficient entiers. J'ai déjà montré que $f(\Z^n) \subset \Z^n$.

Pour montrer que $\Z^n \subset f(\Z^n)$ je prends $X \in \Z^n$ et je cherche $Y \in \Z^n$ tel que $X=AY$. Comme $A$ est inversible, c'est un système de Cramer qui possède une unique solution.

Donc $f(\Z^n)=\Z^n$

J'ai corrigé mon point 1 qui était faux.

Le sujet d'agreg donne une définition qui facilite les choses j'ai l'impression.

Bien vu Gai Requin (tu)
On a $f(\Z^n)=\Z^n$ donc $f^{-1} (\Z^n)=\Z^n$ et $f^{-1} \in L(\R^n)$

D'après ce qui précède, on a bien que $A^{-1} \in M_n(\Z)$.

Ce qui termine l'exercice.

Oui Marsup il y a même un sujet de XENS 2016 qui parle de ça.