Il n'y a pas d'entier compris entre $1$ et $0$ (dans cet ordre) donc la première composante de l'image est $\det(x,C_2,\dots,C_n)$ – et la dernière est $\det(C_1,\dots,C_{n-1},x)$.
Il y a un « $i,$ » en trop mais sinon, c'est correct.
En effet, pour calculer la $j$-ème coordonnée de $u_A(C_k)$, on remplace la $j$-ème de $A$ par $C_k$ et on calcule le déterminant. Si $j=k$, on obtient le déterminant de $A$ ; sinon, la colonne $C_k$ est répétée deux fois donc le déterminant est nul.
C'est le bon réflexe lorsque l'on voit de la bijectivité/injectivité/surjectivité de penser à l'algèbre linéaire mais es-tu sûr que ton application est linéaire ? Je ne crois pas, par contre tu as les bons ingrédients pour prouver la bijectivité ou non " à la main ".
Tu as raison O'shine j'ai dit une bêtise , ton application est bien linéaire , ton raisonnement est juste au détail près que les Ck peuvent tous être nuls mais dans ce cas ce n'est pas bien compliqué.
Il y a un micro-trou : si tous les $C_k$ sont nuls (et $n\ge2$), l'application est visiblement nulle ; sinon, le noyau n'est pas trivial. Bon, on ne va pas en faire une thèse.
Les choses comme $X=(x_j)_{1\le j\le n}$ sont-elles des lignes ? Je ne suis pas d'accord. Il faut penser $\R^n$ comme des colonnes pour pouvoir faire un produit $AX$ lorsque $A$ est $n\times n$ et $X\in\R^n$, ce qui est une écriture très habituelle (« le système $AX=B$ », c'est une expression courante, non ?). Il est aussi extrêmement fréquent de voir une forme quadratique écrite sous la forme $X\mapsto X^{\mathsf{T}}BX$ (pour $B$ matrice symétrique) et ça n'a de sens que si $X$ est considéré comme une colonne.
Je trouve que tu cherches des poux sur la tête d'un chauve.
Encore une fois @Os ta dernière justification n'est pas correcte.
P.S 1 il ne s'agit pas de chercher des poux mais sachant que tu es enseignant
et que tu désires donner des colles en classe prépa c'est assez normal de relever tes fautes
qui sont nombreuses et grossières.
P.S 2 @MathCoss comme ça $X= (x_i)_{1\leq i_leq n}$ on ne sait pas (ligne colonne) mais si on lit l'énoncé $u_A(x)\in \K ^n$ est bien un vecteur ligne.
De plus tu ne tiens pas du contexte, c'est à dire du poseur de la question .
Au fait, que nous dit cet exercice ? Comme l'a pertinemment remarqué OShine, lorsque $A$ est inversible, les colonnes de $A$ forment une base $(C_1,\dots,C_n)$ et l'application $\frac1{\det A}u_A$ envoie cette base sur la base canonique. Cela signifie que $\frac{1}{\det A}u_A$ est l'inverse de l'application $\mathbf{K}^n\to\mathbf{K}^n$, $X\mapsto AX$.
Autrement dit, cet exercice donne les formules de Cramer pour résoudre les systèmes linéaires.
Voici un avatar pour $n=3$, avec $u=(u_1,u_2,u_3)$, etc. : \begin{gather*}
\det(u,v,w)x=\det(x,v,w)u+\det(u,x,w)v+\det(u,v,x)w,\\
\text{i.e.}\quad
\begin{vmatrix}u_1&v_1&w_1\\u_2&v_2&w_2\\u_3&v_3&w_3\end{vmatrix}x
=\begin{vmatrix}u_1&v_1&w_1\\u_2&v_2&w_2\\u_3&v_3&w_3\end{vmatrix}u
+\begin{vmatrix}u_1&v_1&w_1\\u_2&v_2&w_2\\u_3&v_3&w_3\end{vmatrix}v
+\begin{vmatrix}u_1&x_1&x_1\\u_2&x_2&x_2\\u_3&x_3&w_3\end{vmatrix}w,\\
\end{gather*}
OShine écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2241848,2242080#msg-2242080
> @Bd2017 c'est une erreur de frappe. J'ai bien compris que l'image de $u_A$ est un vecteur colonne.
> Je pense avoir une idée pour conclure l'exercice.
> Notons $B=(e_1, \cdots, e_n)$ la base canonique de $\K^n$.
> [*] Si $A$ est non inversible alors $\forall k \in[|1,n|] \ u_A(C_k)=0$ et donc $\ker(u_A) \ne \{0\}$. Ainsi, $u_A$ n'est pas bijective.
c'est complètement faux, réfléchis à ce qu'il faut pour prouver que $u_A$ n'est pas bijective.
> [*] Si $A$ est inversible, $\det(A) \ne 0$ et on a $u_A(C_1)=\det(A) e_1$ etc $u_A(C_n)= \det(A) e_n$
ici, il suffit de dire : donc $u_A$ est surjective, or c'est un endomorphisme en dimension finie, donc
Bonjour À noter aussi que par définition de $u_A$ sa matrice est dans la base canonique : $(com A )^t$
et qu'il est bien connu que $A (com A )^t =\det (A) I$
et cela suffit à répondre à cette exercice.
On peut être plus précis que dire que l'image est $\mathbf{K}^n$.
En supposant que $\det A\ne0$, la famille $(C_1,\dots,C_n)$ est une base de $\mathbf{K}^n$.
D'un côté, l'application $f_A:X\mapsto AX$ envoie la base canonique $(e_1,\dots,e_n)$ sur $(C_1,\dots,C_n)$.
De l'autre côté, l'application $\frac1{\det A}u_A$ envoie la base $(C_1,\dots,C_n)$ sur la base canonique $(e_1,\dots,e_n)$ (pour tout $j$, l'image de $C_j$ par $u_A$ est $\det(A)e_j$).
Ainsi, $f_A\circ\bigl(\frac1{\det A}u_A\bigr)$ et $\bigl(\frac1{\det A}u_A\bigr)\circ f_A$ sont deux applications linéaires qui fixent une base ($(C_1,\dots,C_n)$ pour la première, $(e_1,\dots,e_n)$ pour la seconde), c'est-à-dire qu'elles coïncident avec l'identité sur lesdites bases : elles sont donc égales à l'identité.
Réponses
J'ai trouvé $\boxed{\forall k \in [|1,n|] \ \ u_A(C_k) = (\delta_{kj} \det A)_{1 \leq i,j \leq n}}$
Mais après je ne vois pas.
Tu n'as rien trouvé du tout car ce que tu as écrit n'a pas de sens.
En effet, pour calculer la $j$-ème coordonnée de $u_A(C_k)$, on remplace la $j$-ème de $A$ par $C_k$ et on calcule le déterminant. Si $j=k$, on obtient le déterminant de $A$ ; sinon, la colonne $C_k$ est répétée deux fois donc le déterminant est nul.
Je pense avoir une idée pour conclure l'exercice.
Notons $B=(e_1, \cdots, e_n)$ la base canonique de $\K^n$.
La famille $(C_1, \cdots, C_n)$ étant une base de $\K^n$ car $A$ est inversible, on en déduit que l'image d'une base de $\K^n$ est une base de $\K^n$.
Donc $u_A$ est bijective.
Elle est linéaire car le déterminant est une forme multilinéaire.
Ce raisonnement est défaillant ! (car si les $C_k$ sont nuls cela ne démontre pas que $\ker (u_A) \ne \{0\}$...)
P.S À noter que l'image de $x$ par $u_A$ est un vecteur ligne.
Les choses comme $X=(x_j)_{1\le j\le n}$ sont-elles des lignes ? Je ne suis pas d'accord. Il faut penser $\R^n$ comme des colonnes pour pouvoir faire un produit $AX$ lorsque $A$ est $n\times n$ et $X\in\R^n$, ce qui est une écriture très habituelle (« le système $AX=B$ », c'est une expression courante, non ?). Il est aussi extrêmement fréquent de voir une forme quadratique écrite sous la forme $X\mapsto X^{\mathsf{T}}BX$ (pour $B$ matrice symétrique) et ça n'a de sens que si $X$ est considéré comme une colonne.
Je trouve que tu cherches des poux sur la tête d'un chauve.
P.S 1 il ne s'agit pas de chercher des poux mais sachant que tu es enseignant
et que tu désires donner des colles en classe prépa c'est assez normal de relever tes fautes
qui sont nombreuses et grossières.
P.S 2 @MathCoss comme ça $X= (x_i)_{1\leq i_leq n}$ on ne sait pas (ligne colonne) mais si on lit l'énoncé $u_A(x)\in \K ^n$ est bien un vecteur ligne.
De plus tu ne tiens pas du contexte, c'est à dire du poseur de la question .
Autrement dit, cet exercice donne les formules de Cramer pour résoudre les systèmes linéaires.
Voici un avatar pour $n=3$, avec $u=(u_1,u_2,u_3)$, etc. : \begin{gather*}
\det(u,v,w)x=\det(x,v,w)u+\det(u,x,w)v+\det(u,v,x)w,\\
\text{i.e.}\quad
\begin{vmatrix}u_1&v_1&w_1\\u_2&v_2&w_2\\u_3&v_3&w_3\end{vmatrix}x
=\begin{vmatrix}u_1&v_1&w_1\\u_2&v_2&w_2\\u_3&v_3&w_3\end{vmatrix}u
+\begin{vmatrix}u_1&v_1&w_1\\u_2&v_2&w_2\\u_3&v_3&w_3\end{vmatrix}v
+\begin{vmatrix}u_1&x_1&x_1\\u_2&x_2&x_2\\u_3&x_3&w_3\end{vmatrix}w,\\
\end{gather*}
> @Bd2017 c'est une erreur de frappe. J'ai bien compris que l'image de $u_A$ est un vecteur colonne.
> Je pense avoir une idée pour conclure l'exercice.
> Notons $B=(e_1, \cdots, e_n)$ la base canonique de $\K^n$.
> [*] Si $A$ est non inversible alors $\forall k \in[|1,n|] \ u_A(C_k)=0$ et donc $\ker(u_A) \ne \{0\}$. Ainsi, $u_A$ n'est pas bijective.
c'est complètement faux, réfléchis à ce qu'il faut pour prouver que $u_A$ n'est pas bijective.
> [*] Si $A$ est inversible, $\det(A) \ne 0$ et on a $u_A(C_1)=\det(A) e_1$ etc $u_A(C_n)= \det(A) e_n$
ici, il suffit de dire : donc $u_A$ est surjective, or c'est un endomorphisme en dimension finie, donc
À noter aussi que par définition de $u_A$ sa matrice est dans la base canonique : $(com A )^t$
et qu'il est bien connu que $A (com A )^t =\det (A) I$
et cela suffit à répondre à cette exercice.
Maths coss je n'ai pas compris l'histoire de l'inverse de l'application $X \mapsto AX$.
Bd2017
Si $A$ est la matrice nulle $u_A$ est l'application nulle elle n'est pas bijective.
Vu que $\det(A)$ est non nul, $Im(u_A)=R^n$ par ce que tu as écrit.
En supposant que $\det A\ne0$, la famille $(C_1,\dots,C_n)$ est une base de $\mathbf{K}^n$.
D'un côté, l'application $f_A:X\mapsto AX$ envoie la base canonique $(e_1,\dots,e_n)$ sur $(C_1,\dots,C_n)$.
De l'autre côté, l'application $\frac1{\det A}u_A$ envoie la base $(C_1,\dots,C_n)$ sur la base canonique $(e_1,\dots,e_n)$ (pour tout $j$, l'image de $C_j$ par $u_A$ est $\det(A)e_j$).
Ainsi, $f_A\circ\bigl(\frac1{\det A}u_A\bigr)$ et $\bigl(\frac1{\det A}u_A\bigr)\circ f_A$ sont deux applications linéaires qui fixent une base ($(C_1,\dots,C_n)$ pour la première, $(e_1,\dots,e_n)$ pour la seconde), c'est-à-dire qu'elles coïncident avec l'identité sur lesdites bases : elles sont donc égales à l'identité.
$\ker(u_A)= \{0 \}$ si et seulement si $u_A$ est bijective en dimension finie. Donc si $\ker (u_A) \ne \{0 \}$, $u_A$ n'est pas bijective.
Ah d'accord comme $\dim \R^n = \dim Im(u_A)=n$ et $Im (u_A) \subset \R^n$ on a $Im(u_A)=\R^n$
@Math Coss
D'accord merci.