Multiplication matricielle par blocs
Bonjour, soit $A\in \mathbb R^{n\times n}$.
On peut montrer facilement qu'avec $A_1=\begin{pmatrix}
B_1 &B_2 \\
B_3 &B_4
\end{pmatrix},A_2=\begin{pmatrix}
C_1 &C_2 \\
C_3 &C_4
\end{pmatrix}$ où les $B_i,C_i$ sont des sous-matrices, on a que $A_1A_2=\begin{pmatrix}
B_1C_1+B_2C_3 &B_1C_2+B_2C_4 \\
B_3C_1+B_4C_3 &B_3C_2+B_4C_4
\end{pmatrix}$
Ma question est alors, si on a $A=\begin{pmatrix}
a &v^T \\
v &B
\end{pmatrix}$ avec $a\in \mathbb R,v\in \mathbb R^{n-1},B\in \mathbb R^{(n-1)\times (n-1)}$, on devrait obtenir $A^2=\begin{pmatrix}
a^2+v^Tv &av^T+v^TB \\
av^T+Bv &vv^T+B^2
\end{pmatrix}$
Il y a un problème selon moi, que représente $vv^T$? Merci pour votre aide.
On peut montrer facilement qu'avec $A_1=\begin{pmatrix}
B_1 &B_2 \\
B_3 &B_4
\end{pmatrix},A_2=\begin{pmatrix}
C_1 &C_2 \\
C_3 &C_4
\end{pmatrix}$ où les $B_i,C_i$ sont des sous-matrices, on a que $A_1A_2=\begin{pmatrix}
B_1C_1+B_2C_3 &B_1C_2+B_2C_4 \\
B_3C_1+B_4C_3 &B_3C_2+B_4C_4
\end{pmatrix}$
Ma question est alors, si on a $A=\begin{pmatrix}
a &v^T \\
v &B
\end{pmatrix}$ avec $a\in \mathbb R,v\in \mathbb R^{n-1},B\in \mathbb R^{(n-1)\times (n-1)}$, on devrait obtenir $A^2=\begin{pmatrix}
a^2+v^Tv &av^T+v^TB \\
av^T+Bv &vv^T+B^2
\end{pmatrix}$
Il y a un problème selon moi, que représente $vv^T$? Merci pour votre aide.
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Réponses
(si tu préfères, il faut commencer par $v\in \mathbb R^{(n-1)\times 1}$ ou peut-être est-ce $1\times (n-1)$)
$v$ est un vecteur colonne, et $v^T$ un vecteur ligne (tous les deux ayant $n-1$ éléments. Alors $vv^T$ est une matrice carrée $(n-1)\times (n-1)$ et tout est cohérent. C'était ça ta question?
Arrivée bon dernière!