Représentations galoisiennes
Bonjour à tous
Je fais face à l'exercice suivant en théorie de Galois.
Soit $F$ un corps de nombres, $\ell$ un nombre premier et $V$ un espace vectoriel sur $\overline{\Q}_\ell$ de dimension finie.
Considérons une représentation semisimple continue galoisienne $\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)\to GL(V)$.
1) Montrer que $\operatorname{End}(\rho,V)\cong \overline{\Q}_\ell$ si et seulement si $\rho$ est irréductible.
2) Donner un exemple d'une représentation galoisienne irréductible $\operatorname{Gal}(\overline{\Q}/\Q)\to GL_2(\Q_\ell)$ telle que $\rho\otimes_{\Q_\ell} \overline{\Q}_\ell$ est réductible.
Je dois avouer que je ne me sens pas très à l'aise avec la théorie des représentations.
1) La direction $\boxed{\Leftarrow}$ est un corollaire facile du "lemme de Schur".
Soit $k$ algébriquement clos, $R$ un $k$-algèbre et $E$ un $R$-module simple de dimension finie sur $k$. Si $f:E\to E$ est $R$-linéaire, alors $f=\lambda \operatorname{id}_E$ pour un $\lambda\in k$. En effet, $f$ est $k$-linéaire, donc il a une valeur propre $\lambda$. Or, comme $E$ est simple, $f-\lambda \operatorname{id}_E$ est zéro ou un isomorphisme.
Pour la direction $\boxed{\Rightarrow}$, je n'ai pas d'idée..
2) Le seul exemple d'une représentation galoisienne $\rho:\operatorname{Gal}(\overline{K}/K)\to GL_2(\Q_\ell)$ que j'ai rencontré dans mon cours est celle associée au module de Tate $\varprojlim_{n\geq 1} E[\ell^n](\overline{K})$ d'une courbe elliptique $E$ sur $K$.
En utilisant la partie (1), je dois choisir une courbe elliptique $E$ et un corps $K$ tel que l'algèbre d'endomorphismes de la représentation $\ell$-adique de Tate n'est pas isomorphe à $\overline{\Q}_\ell$.
Ici (irreduciblity-of-ell-adic-representation-attach-to-the-elliptic-curve-over), on suggère quelque chose (de prendre $E$ une courbe elliptique à multiplication complexe, par exemple $E/\Q:y^2=x^3+x$ ?), mais cette réponse utilise des notions que je n'ai pas encore vues.
Bref, je suis coincé et toute aide est la bienvenue ! Merci d'avance !
Je fais face à l'exercice suivant en théorie de Galois.
Soit $F$ un corps de nombres, $\ell$ un nombre premier et $V$ un espace vectoriel sur $\overline{\Q}_\ell$ de dimension finie.
Considérons une représentation semisimple continue galoisienne $\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)\to GL(V)$.
1) Montrer que $\operatorname{End}(\rho,V)\cong \overline{\Q}_\ell$ si et seulement si $\rho$ est irréductible.
2) Donner un exemple d'une représentation galoisienne irréductible $\operatorname{Gal}(\overline{\Q}/\Q)\to GL_2(\Q_\ell)$ telle que $\rho\otimes_{\Q_\ell} \overline{\Q}_\ell$ est réductible.
Je dois avouer que je ne me sens pas très à l'aise avec la théorie des représentations.
1) La direction $\boxed{\Leftarrow}$ est un corollaire facile du "lemme de Schur".
Soit $k$ algébriquement clos, $R$ un $k$-algèbre et $E$ un $R$-module simple de dimension finie sur $k$. Si $f:E\to E$ est $R$-linéaire, alors $f=\lambda \operatorname{id}_E$ pour un $\lambda\in k$. En effet, $f$ est $k$-linéaire, donc il a une valeur propre $\lambda$. Or, comme $E$ est simple, $f-\lambda \operatorname{id}_E$ est zéro ou un isomorphisme.
Pour la direction $\boxed{\Rightarrow}$, je n'ai pas d'idée..
2) Le seul exemple d'une représentation galoisienne $\rho:\operatorname{Gal}(\overline{K}/K)\to GL_2(\Q_\ell)$ que j'ai rencontré dans mon cours est celle associée au module de Tate $\varprojlim_{n\geq 1} E[\ell^n](\overline{K})$ d'une courbe elliptique $E$ sur $K$.
En utilisant la partie (1), je dois choisir une courbe elliptique $E$ et un corps $K$ tel que l'algèbre d'endomorphismes de la représentation $\ell$-adique de Tate n'est pas isomorphe à $\overline{\Q}_\ell$.
Ici (irreduciblity-of-ell-adic-representation-attach-to-the-elliptic-curve-over), on suggère quelque chose (de prendre $E$ une courbe elliptique à multiplication complexe, par exemple $E/\Q:y^2=x^3+x$ ?), mais cette réponse utilise des notions que je n'ai pas encore vues.
Bref, je suis coincé et toute aide est la bienvenue ! Merci d'avance !
Réponses
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Pour 1), le groupe de Galois est fini donc le théorème de Maschke s'applique et montre que la représentation est isomorphe à une somme directe $\bigoplus_{i=1}^rS_i^{n_i}$, où chaque $S_i$ est simple. L'algèbre des endomorphismes est alors $\bigoplus_{i=1}^r\mathcal{M}_n(\overline{\Q_\ell})$, qui est de dimension $1$ SSI $r=1$ et $n_1=1$.
Pour 2), pour simplifier, je ne sais pas de quoi tu parles. -
Pourquoi le groupe de Galois serait-il fini ? Supposes-tu de plus $\rho$ semi-simple ? sinon, il me semble que le 1) est faux.
N'impose-t'on aucune condition supplémentaire sur $\rho$ dans la question 2) ? (par exemple son irréductibilité) En effet, tel qu'elle est formulée, la représentation triviale semble convenir. -
Ah ! Je me suis psychiqué tout seul. J'ai regardé une première fois et lu « $\overline{F}/F$ », tout allait bien, puis dans un deuxième temps et lu « corps de nombres » et interprété ça comme « $F/\Q$ » à la place.
Si la représentation ne se factorise pas à travers un groupe de Galois fini, en effet, je ne sais pas répondre. -
Alors, oui la représentation est semisimple dans (1) et dans (2) il faut donner un exemple d'une représentation galoisienne irréductible mais pas absolument irréductible.
Si je prends $K$ une extension quadratique de $\Q_\ell$.
Comment est-ce qu'on peut construire une représentation $\operatorname{Gal}(\overline{\Q}/\Q)\to K^\times$ ? Si on avait ça, on pourrait utiliser un isomorphisme de $\Q_\ell$-espaces vectoriels $K\cong \Q_\ell^2$ pour obtenir une représentation $\operatorname{Gal}(\overline{\Q}/\Q)\to GL_2(\Q_\ell)$, n'est-ce pas ? -
Math Coss écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2242196,2242210#msg-2242210
Math Coss, est-ce que vous pouvez m'expliquer pourquoi l'algèbre des endomorphismes est de cette forme ?
Je sais qu'elle est de la forme $\bigoplus_{i=1}^r M_{n_i}\left( \operatorname{End}_{\overline{\mathbf{Q}_\ell}[G_F]}(S_i) \right)$. Je me perds un peu dans la notation ..
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Bonjour!
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