Représentations galoisiennes

Bonjour à tous
Je fais face à l'exercice suivant en théorie de Galois.

Soit $F$ un corps de nombres, $\ell$ un nombre premier et $V$ un espace vectoriel sur $\overline{\Q}_\ell$ de dimension finie.
Considérons une représentation semisimple continue galoisienne $\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)\to GL(V)$.
1) Montrer que $\operatorname{End}(\rho,V)\cong \overline{\Q}_\ell$ si et seulement si $\rho$ est irréductible.
2) Donner un exemple d'une représentation galoisienne irréductible $\operatorname{Gal}(\overline{\Q}/\Q)\to GL_2(\Q_\ell)$ telle que $\rho\otimes_{\Q_\ell} \overline{\Q}_\ell$ est réductible.

Je dois avouer que je ne me sens pas très à l'aise avec la théorie des représentations.
1) La direction $\boxed{\Leftarrow}$ est un corollaire facile du "lemme de Schur".
Soit $k$ algébriquement clos, $R$ un $k$-algèbre et $E$ un $R$-module simple de dimension finie sur $k$. Si $f:E\to E$ est $R$-linéaire, alors $f=\lambda \operatorname{id}_E$ pour un $\lambda\in k$. En effet, $f$ est $k$-linéaire, donc il a une valeur propre $\lambda$. Or, comme $E$ est simple, $f-\lambda \operatorname{id}_E$ est zéro ou un isomorphisme.
Pour la direction $\boxed{\Rightarrow}$, je n'ai pas d'idée..

2) Le seul exemple d'une représentation galoisienne $\rho:\operatorname{Gal}(\overline{K}/K)\to GL_2(\Q_\ell)$ que j'ai rencontré dans mon cours est celle associée au module de Tate $\varprojlim_{n\geq 1} E[\ell^n](\overline{K})$ d'une courbe elliptique $E$ sur $K$.

En utilisant la partie (1), je dois choisir une courbe elliptique $E$ et un corps $K$ tel que l'algèbre d'endomorphismes de la représentation $\ell$-adique de Tate n'est pas isomorphe à $\overline{\Q}_\ell$.

Ici (irreduciblity-of-ell-adic-representation-attach-to-the-elliptic-curve-over), on suggère quelque chose (de prendre $E$ une courbe elliptique à multiplication complexe, par exemple $E/\Q:y^2=x^3+x$ ?), mais cette réponse utilise des notions que je n'ai pas encore vues.

Bref, je suis coincé et toute aide est la bienvenue ! Merci d'avance !