Bonsoir, est-ce que si pour M dans Mn(C) on a pour tout X dans M1,n(C), X*MX qui est réel (M1,1(R))
alors M=0 et si oui comment le montrer. X* désigne la transposée du conjugué de X. Merci.
...transconjugaison...
Pas besoin de « u » pour obtenir le phonème «g» de « Gaston » devant a, o, u.
Par contre, devant e, i, y la lettre g donne le phonème « j» de «Gisèle » , et il faut le «u» pour obtenir le phonème «g» de «guéridon».
C'est logique.
En fait maintenant je vois.
Toute matrice complexe $M$ peut s'écrire sous la forme $M=A+iB$ avec $A$ et $B$ hermitiennes.
Avec la condition de l'énoncé, on obtient $X^*BX=0$ pour toute colonne $X$.
En remplaçant $X$ par $X+Y$ on obtient $X^*BY+Y^*BX=0$ soit $X^*BY$ imaginaire pur.
En prenant $iY$ à la place de $Y$ on obtient que $X^*BY$ est aussi réel, donc au final nul.
En prenant pour $X$ et $Y$ les vecteurs de la base canoniques de $\C^n$ on obtient que les coefficients de $B$ sont nuls, càd que $M$ est hermitienne.
Réponses
Pas besoin de « u » pour obtenir le phonème «g» de « Gaston » devant a, o, u.
Par contre, devant e, i, y la lettre g donne le phonème « j» de «Gisèle » , et il faut le «u» pour obtenir le phonème «g» de «guéridon».
C'est logique.
Oui ce que j'ai écrit est faux j'aurais dû vérifier je pensais à XtMY= 0 pour tout X Y => M=0.
Toute matrice complexe $M$ peut s'écrire sous la forme $M=A+iB$ avec $A$ et $B$ hermitiennes.
Avec la condition de l'énoncé, on obtient $X^*BX=0$ pour toute colonne $X$.
En remplaçant $X$ par $X+Y$ on obtient $X^*BY+Y^*BX=0$ soit $X^*BY$ imaginaire pur.
En prenant $iY$ à la place de $Y$ on obtient que $X^*BY$ est aussi réel, donc au final nul.
En prenant pour $X$ et $Y$ les vecteurs de la base canoniques de $\C^n$ on obtient que les coefficients de $B$ sont nuls, càd que $M$ est hermitienne.