Extension algébrique

Jordan.B · May 2021

Bonjour, je bloque sur cet exercice : Soit $k$ un corps de caractéristique $p$, $E$ une extension finie de $k$ telle que $p^r=[E:k]_i$. On suppose qu'il n'existe pas de $s<r$ tel que $E^{p^s}k$ soit séparable sur $k$. Montrer que $E$ peut être engendré par un élément.

J'ai réussi à le faire si on suppose $E$ radiciel sur $k$ mais pour le cas général j'ai uniquement réussi à engendrer $E$ par deux éléments.

Jordan.B · May 2021

Je peux expliquer comment j'ai fait si cela peut donner des idées.

Fin de partie · May 2021

Que signifie le $i$ dans $[E:k]_i$?
Que signifie $E^{p^s}k$?, Une extension finie de $k$ de degré $p^s$?

Jordan.B · May 2021

$E^{p^s}=\{ x^{p^s}, \ x \in E\}$ et $E^{p^s}k$ c'est le sous-corps de $E$ engendré par $E^{p^s}$ et $k$.

Après, si $\Omega$ est une clôture algébrique de $k$ qui le contient. Je note $[E:k]_s$ le nombre de prolongement à $E$ de l'identité de $k$ dans $\Omega$. On peut montrer que $[E:k]/[E:k]_s$ est entier et $[E:k]_i$ désigne cet entier. ($E$ une extension finie de $k$)

Extension algébrique

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