Espace vectoriel

Bonjour,

Pour par exemple $n=1$, que serait $\sqrt{2}\cdot 1$, dans le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{Q}$ avec la loi externe ?

Cordialement,

Rescassol

OS:
$Z^n$ est-il un sous-espace vectoriel ? De quel espace vectoriel et donc, en particulier, quelles sont les lois dont sont munies cet espace vectoriel? Un espace vectoriel est la donnée d'un corps, d'un ensemble et de deux lois. Ces deux lois vérifient des propriétés.

Ce que je veux te faire comprendre c'est que même si on travaille sur $\mathbb Q$ comme ensemble sous-jacent, rien n'empêche d'en faire un $\mathbb Q$-espace vectoriel pour d'autres lois que les lois $+$ et $.$ usuelle. Par exemple, si $a \in \mathbb Q \setminus \{0\}$, tu prends $+' = +$ et $.' : (\lambda, x) \mapsto a \lambda x$ et tu vérifies que $(\mathbb Q, +', .')$ est bien un $\mathbb Q$-espace vectoriel, différent de $(\mathbb Q, +, .)$ dès que $a \neq 1$.

@OS : bonjour. Écris, s'il te plait, les toutes premières lignes de la définition d'un $\Bbb{K}$-espace vectoriel, où $\Bbb{K}$ est un corps.

J'ai appris la notion d'espace vectoriel tout seul (on la voyait en fac, j'étais encore en lycée), donc je me suis contenté de la définition, de bien comprendre ce qu'elle dit. C'est ce qu'on vient tous d'utiliser pour te répondre, mais manifestement, tu n'as jamais vraiment lu cette définition.
Pour le reste de ton message, il montre seulement ton manque total d'autonomie par rapport à ce que tu "étudies". Christophe a parfaitement raison, tu bouffes des réponses, tu n'apprends pas.
Tu le dis toi-même : ta réflexion s'arrête à ce qui est écrit dans les bouquins ... tu ne penses pas !!

Et on peut continuer longtemps à alimenter cette boulimie de papier, elle ne nourrit pas ton cerveau. Tu vas continuer à buter bêtement sur les questions élémentaires (celles qui se résolvent immédiatement avec un peu d'intelligence).

Je suis désolé pour toi, pour tout le travail inutile que tu fais, pour ton manque d'intelligence dans tout ce que tu montres ici (maths ou interventions sur les "niveaux"). Ton cerveau est sans doute bien plus efficace que ça, mais tu ne l'utilises pas.

Bonjour OShine,

Je vois que tu pars d’un groupe additif. Mais alors, si l’on privilégie les automorphismes, n’a-t-on pas quelque part un espace vectoriel? :-D

OShine,

Soit $(G,+)$ un groupe commutatif.
L’action $\cdot$ définie par $Aut(G)\times G \to G$, $(f,x) \mapsto f\cdot x := f(x)$ nous fournit un espace vectoriel sur $Aut(G)$ où les vecteurs sont juste les éléments de $G$.
Réciproquement, si $E$ est un $K-$espace vectoriel, alors l’opération :
$K \times (E,+) \to (E,+)$, $(\lambda, u)\mapsto \lambda \cdot u:= \lambda u$ est une action du groupe $K$ sur $(E,+)$.
Non?

Ok OShine.

Bref, un espace vectoriel n’est rien d’autre qu’un groupe additif dans lequel on a privilégié les automorphismes.

Si ce que je te propose t’empêche de répondre aux questions des autres intervenants, alors ignore ma proposition.
Alors, je prends un groupe additif $(G,+)$.
Tu es d’accord qu’il me faut :
- un corps
- une opération externe

Bon.
Le groupe des automorphismes de $G$, noté $Aut(G)$, munis des opérations « composition » et $+$(le $+$ du groupe $G$, en fait je fais quand même un abus là, mais c’est juste pour dire que $f+g$, c’est l’automorphisme $x \mapsto f(x)+g(x)$) est bien un corps.
Donc c’est bon pour le corps.
Pour l’opération externe $*$, on la définit comme ceci:
Pour tout $\lambda \in Aut(G)$ et $x \in G$, on note $\lambda * x:= \lambda (x)$.

Tu peux vérifier qu’on a maintenant un espace vectoriel.
On n’a utilisé que le groupe $G$.

Ah oui tu as raison Poirot :-)
Bon, benh désolé OShine, il va falloir tout jeter à la poubelle!

Edit: si on se restreint à $End(G)$, on a au moins une structure de module...
C’est déjà ça...

Ah benh voilà...
Merci pour avoir mis de l’ordre dans tout ça mon cher Raoul.