Racines n-iéme de l'unité

hou97 · May 2021

Soit f1, ..., fm les caractères d'un groupe fini G d'ordre m, et soit a un élément de G d'ordre n.
On sait que chaque nombre fr(a) est une n-ième racine d'unité.
Prouvez que chacune des n-ième racine de l'unité apparaît souvent parmi les nombres f1 (a), ..., fm (a).

MrJ · May 2021

Le mot « souvent » a-t-il un sens particulier ?

Sauf erreur de ma part, les racines n-ième n’apparaissent pas toutes en général. Par exemple, si $G$ est le groupe de Klein, les nombres $\pm i$ ne sont dans l’image d’aucun de ses $n$ caractères...

Poirot · May 2021

@MrJ : Le groupe de Klein n'admet pas d'élément d'ordre $4$.

@hou97 : Ta question n'est pas très claire, mais surtout, elle sous-entend que $G$ est abélien, donc commençons par supposer ça.

MrJ · May 2021

@Poirot : Justement, c'est ce que je voulais dire et cela semble incompatible avec l'énoncé de départ (sauf si on rajoute que le groupe est cyclique).

Poirot · May 2021

Dans l'énoncé original on prend un groupe d'ordre $m$ et un élément d'ordre $n$. Dans ton message on a $n=4$ puisque $\pm i$ sont des racines $4$-ièmes de l'unité.