$P$ constant donc $P'$ nul

topopot
topopot
dans Algèbre
Soit $A$ un anneau commutatif et $P\in A[X]$.

Si $P$ est constant alors $P'=0$.

La réciproque est vraie si $A$ est intègre et de caractéristique nulle.

J'ai trouvé un exemple montrant que la réciproque est fausse si on enlève l'hypothèse de caractéristique (mais on garde l'intégrité).

Toutefois, je ne trouve pas d'exemple en enlevant l'hypothèse d'intégrité et en gardant celle de caractéristique. J'ai pensé à prendre $A:=\Z^2$ qui est un candidat mais je trouve pas d'exemple de $P$ dedans.

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    On pourra regarder dans $\Z/4\Z$ par exemple
  • Maxtimax
    Maxtimax
    ($\Z^2$ n'a pas d'exemples, si tu regardes la preuve utilisant l'intégrité, tu verras qu'on peut formuler un meilleur critère, plus précis que "intègre")
  • NoName
    NoName
    Que penses tu de $A=\mathbb{Z}[T]/(2T)$ et $f=TX^2$.
  • topopot
    topopot
    @Maxtimax : $\Z/4\Z$ est non intègre et n'est pas de caractéristique $0$, j'avais déjà ce type d'exemple :-)

    Je cherchais un exemple non intègre ET de caractéristique $0$.

    Je regarde l'exemple de NoName.

    Merci à vous !
  • topopot
    topopot
    C'est bon NoName, merci !

    Jamais je n'aurais pensé à un tel exemple. Pourtant ça paraît évident quand on "vérifie" qu'il marche.
  • MrJ
    MrJ
    C'est une idée très utile en algèbre pour répondre à certains problèmes : on considère une grosse structure (groupes, anneaux, ...) et on quotiente pour avoir la propriété cherchée.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Ah pardon !
    Mais en fait bon, caractéristique $0$ c'est trompeur ici.

    Je précise ma pensée quand même : tu vois bien que ce qui se passe c'est que $(aX^n)' = na X^{n-1}$, donc $P'$ va être nul si et seulement si son terme dominant est $aX^n$ et $an = 0$. Donc en fait le bon critère ou la bonne question c'est "est-ce qu'il y a des entiers diviseurs de $0$ ?" (et non pas est-ce qu'on est intègre)

    Un anneau peut ne pas être intègre du tout et pourtant les entiers ne sont pas des diviseurs de $0$ (e.g. $\Z^2$, ta tentative, mais aussi $\Z[x]/(x^2)$, ...). Généralement, toute $\Q$-algèbre est un exemple de tel bidule, et il y a plein de $\Q$-algèbres non intègres.

    C'est pour ça que je disais que "caractéristique $0$" c'est un peu trompeur: la caractéristique $0$, pour moi, c'est que les entiers sont inversibles (et donc en particulier avec cette définition tu n'auras pas d'exemple); j'aime pas trop la définition où on demande juste que les entiers soient non nuls
    (en fait j'ai envie que "caractéristique $0$" interdise tout phénomène de type "caractéristique positive", en particulier j'ai envie d'un truc permanent, préservé par les morphismes d'anneaux. Je ne sais pas trop si cette envie est partagée, cependant)
  • NoName
    NoName
    Je suis d'accord, personnellement je n'utilise le terme de caractéristique que pour un anneau intègre.

    Sinon, je dis simplement sans $\mathbb{Z}$-torsion, ou de $n$-torsion pour "de caractéristique nulle" ou de "caractéristique $n$".
  • Maxtimax
    Maxtimax
    NoName : ah mais même un anneau intègre je ne dirais pas qu'il est de caractéristique $0$ s'il a des entiers non inversibles. Je veux plus le voir comme un truc en caractéristique mixte
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