Surjectivité exponentielle via la connexité

Bonjour !
Dans le livre Un max de maths de Maxime Zavidovique, il est proposé de montrer la surjectivité de $\exp : \mathscr{M}_n(\C) \to GL_n(\C)$ via des raisonnements de connexité.
Pour cela, il est utilisé l'argument suivant :
$\exp : \mathscr{M}_n(\C) \to GL_n(\C)$ est $\mathscr{C}^1$ tel que : $d\exp(0) = \rm Id_{\mathscr{M}_n(\C)}$
Donc en restreignant l'application à $\C[C]$ en : $f : A \in \C[C] \mapsto \exp(A) \in \C[C]^\star$, $df(0) = \rm Id_{\C[C]}$ puis le théorème d'inversion locale est utilisé.
Il n'est pas dérangeant, voire faux, d'utiliser le théorème d'inversion local en partant de $\C[C]$ qui est un fermé? Que veut dire 'différencier' $f$ sachant qu'elle part d'un fermé?
Merci à vous !